Question

【題目】定義：如圖l所示，給定線段MN及其垂直平分線上一點P。若以點P為圓心，PM為半徑的優弧（或半圓弧）MN上存在三個點可以作為一個等邊三角形的頂點，則稱點P為線段MN的“三足點”，特別的，若這樣的等邊三角形只存在一個，則稱點P為線段MN的“強三足點”。

問題：如圖2所示，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（2，0），點B在射線y=x（x≥0）上。

（1）在點C（，0），D（，1），E（，-2）中，可以成為線段OA的“三足點”的是__________.

（2）若第一象限內存在一點Q既是線段OA的“三足點”，又是線段OB的“強三足點”，求點B的坐標。

（3）在（2）的條件下，以點A為圓心，AB為半徑作圓，假設該圓與x軸交點中右側一個為H，圓上一動點K從H出發，繞A順時針旋轉180°后停止，設點K出發后轉過的角度為（0°< ≤180°），若線段OB與AK不存在公共“三足點”，請直接寫出的取值范圍是_______________。

Answer 1

【答案】（1）D、E；

（2）B（3，3）。

（3）30°< <90°或=150°。

【解析】試題分析：(1)用排除法判斷;(2) 由題意可知Q點既為線段OA的“三足點”，又是線段OB的“強三足點”，則點Q須滿足在OA和OB的垂直平分線上，且∠QOB=30°．

y=x與x軸的夾角為30°．∴∠QOA=60°．設點Q的坐標為(m,n)，Q點在OA的垂直平分線上，故m=， ，QB=QO= ，所以B(．

(3)這個圓正好過O、Q點，F點坐標為（，0）由于三足點存在要求等腰三角形頂角≤120度，通過畫圖可以算出a的范圍為：30° <a<90°，及a=150°，此時AK的中垂線與OB的中垂線平行，沒有交點根據線段OB的三足點在射線AE和射線QF上，即線段AK的三足點要與這兩條射線有交點．

試題解析：

（1）D、E；

（2）點Q既是線段OA的“三足點”，又是線段OB的“強三足點”，

依題可知，∠OQB=120°，∠QOB=30°，∠QOA=60°，

即Q（，3）.

OQ=BQ=2，BQ∥OA，

即B（3，3）.

（3）依題可知：

線段OB的三足點在射線AE和射線QF上，

即線段AK的三足點要與這兩條射線有交點，

當0< ≤30°，90°≤<150°，150°< ≤180°存在交點。

故若不存在，則30°< <90°或=150°.

點睛:在這類問題中,首要的是理解新概念,總結和發現新規律,然后通過模仿,類比或歸納解決問題,關鍵是理解題中所給的新穎的解題方法,然后利用轉化思想根據背景材料將要求的問題轉化為閱讀得來的方法來解決問題.