Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx與直線y=2x+4交于A（a，8）、B兩點，點P是拋物線上A、B之間的一個動點，過點P分別作x軸、y軸的平行線與直線AB交于點C和點E．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若C為AB中點，求PC的長；
（3）如圖，以PC，PE為邊構造矩形PCDE，設點D的坐標為（m，n），請求出m，n之間的關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（a，8）是拋物線和直線的交點，

∴A點在直線上，

∴8=2a+4，解得a=2，

∴A點坐標為（2，8），

又A點在拋物線上，

∴8=22+2b，解得b=2，

∴拋物線解析式為y=x2+2x

（2）

解：聯立拋物線和直線解析式可得 ，解得 ， ，

∴B點坐標為（﹣2，0），

如圖，過A作AQ⊥x軸，交x軸于點Q，

則AQ=8，OQ=OB=2，即O為BQ的中點，

當C為AB中點時，則OC為△ABQ的中位線，即C點在y軸上，

∴OC= AQ=4，

∴C點坐標為（0，4），

又PC∥x軸，

∴P點縱坐標為4，

∵P點在拋物線線上，

∴4=x2+2x，解得x=﹣1﹣ 或x= ﹣1，

∵P點在A、B之間的拋物線上，

∴x=﹣1﹣ 不合題意，舍去，

∴P點坐標為（ ﹣1，4），

∴PC= ﹣1﹣0= ﹣1；

（3）

解：∵D（m，n），且四邊形PCDE為矩形，

∴C點橫坐標為m，E點縱坐標為n，

∵C、E都在直線y=2x+4上，

∴C（m，2m+4），E（ ，n），

∵PC∥x軸，

∴P點縱坐標為2m+4，

∵P點在拋物線上，

∴2m+4=x2+2x，整理可得2m+5=（x+1）2，解得x= ﹣1或x=﹣ ﹣1（舍去），

∴P點坐標為（ ﹣1，2m+4），

∴DE= ﹣m，CP= ﹣1﹣m，

∵四邊形PCDE為矩形，

∴DE=CP，即 ﹣m= ﹣1﹣m，

整理可得n2﹣4n﹣8m﹣16=0，

即m、n之間的關系式為n2﹣4n﹣8m﹣16=0

【解析】（1）把A點坐標代入直線方程可求得a的值，再代入拋物線可求得b的值，可求得拋物線解析式；（2）聯立拋物線和直線解析式可求得B點坐標，過A作AQ⊥x軸，交x軸于點Q，可知OC= AQ=4，可求得C點坐標，結合條件可知P點縱坐標，代入拋物線解析式可求得P點坐標，從而可求得PC的長；（3）根據矩形的性質可分別用m、n表示出C、P的坐標，根據DE=CP，可得到m、n的關系式．本題為二次函數的綜合應用，涉及知識點有圖象的交點、待定系數法、三角形中位線定理、矩形的性質等．在（1）中注意交點坐標的應用，在（2）中求出C點坐標是解題的關鍵，在（3）中用m、n表示出P點的坐標是解題的關鍵．本題知識點較多，計算量較大，難度適中．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解拋物線與坐標軸的交點的相關知識，掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．