Question

【題目】如圖，已知點A的坐標為（﹣2，0），直線y=﹣ x+3與x軸、y軸分別交于點B和點C，連接AC，頂點為D的拋物線y=ax2+bx+c過A、B、C三點．

（1）請直接寫出B、C兩點的坐標，拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）設拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E，P是第一象限內拋物線上一點，過點P作x軸的垂線，交線段BC于點F，若四邊形DEFP為平行四邊形，求點P的坐標；
（3）設點M是線段BC上的一動點，過點M作MN∥AB，交AC于點N，點Q從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿線段BA向點A運動，運動時間為t（秒），當t（秒）為何值時，存在△QMN為等腰直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0代入y=﹣ x+3

∴y=3，

∴C（0，3），

令y=0代入y=﹣ x+3

∴x=4，

∴B（4，0），

設拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x﹣4），

把C（0，3）代入y=a（x+2）（x﹣4），

∴a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ （x+2）（x﹣4）=﹣ x2+ x+3，

∴頂點D的坐標為（1， ）

（2）

解：

當DP∥BC時，

此時四邊形DEFP是平行四邊形，

設直線DP的解析式為y=mx+n，

∵直線BC的解析式為：y=﹣ x+3，

∴m=﹣ ，

∴y=﹣ x+n，

把D（1， ）代入y=﹣ x+n，

∴n= ，

∴直線DP的解析式為y=﹣ x+ ，

∴聯立 ，

解得：x=3或x=1（舍去），

∴把x=3代入y=﹣ x+ ，

y= ，

∴P的坐標為（3， ）

（3）

解：由題意可知：0≤t≤6，

設直線AC的解析式為：y=m1x+n1，

把A（﹣2，0）和C（0，3）代入y=m1x+n1，

得： ，

∴解得 ，

∴直線AC的解析式為：y= x+3，

由題意知：QB=t，

如圖1，當∠NMQ=90°，

∴OQ=4﹣t，

令x=4﹣t代入y=﹣ x+3，

∴y= t，

∴M（4﹣t， t），

∵MN∥x軸，

∴N的縱坐標為 t，

把y= t代入y= x+3，

∴x= t﹣2，

∴N（ t﹣2， t），

∴MN=（4﹣t）﹣（ t﹣2）=6﹣ t，

∵MQ∥OC，

∴△BQM∽△BOC，

∴ ，

∴MQ= t，

當MN=MQ時，

∴6﹣ t= t，

∴t= ，

此時QB= ，符合題意，

如圖2

當∠QNM=90°時，

∵QB=t，

∴點Q的坐標為（4﹣t，0）

∴令x=4﹣t代入y= x+3，

∴y=9﹣ t，

∴N（4﹣t，9﹣ t），

∵MN∥x軸，

∴點M的縱坐標為9﹣ t，

∴令y=9﹣ t代入y=﹣ x+3，

∴x=2t﹣8，

∴M（2t﹣8，9﹣ t），

∴MN=（2t﹣8）﹣（4﹣t）=3t﹣12，

∵NQ∥OC，

∴△AQN∽△AOC，

∴ ，

∴NQ=9﹣ t，

當NQ=MN時，

∴9﹣ t=3t﹣12，

∴t= ，

∴此時QB= ，符合題意

如圖3，

當∠NQM=90°，

過點Q作QE⊥MN于點E，

過點M作MF⊥x軸于點F，

設QE=a，

令y=a代入y=﹣ x+3，

∴x=4﹣ a，

∴M（4﹣ a，a），

令y=a代入y= x+3，

∴x= a﹣2，

∴N（ a﹣2，0），

∴MN=（4﹣ a）﹣（ a﹣2）=6﹣2a，

當MN=2QE時，

∴6﹣2a=2a，

∴a= ，

∴MF=QE= ，

∵MF∥OC，

∴△BMF∽△BCO，

∴ ，

∴BF=2，

∴QB=QF+BF= +2= ，

∴t= ，此情況符合題意，

綜上所述，當△QMN為等腰直角三角形時，此時t= 或 或 ．

【解析】本題考查二次函數的綜合問題，涉及待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，相似三角形判定與性質，等腰直角三角形的性質知識，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．（1）分別令y=0和x=0代入y=﹣ x+3即可求出B和C的坐標，然后設拋物線的交點式為y=a（x+2）（x﹣4），最后把C的坐標代入拋物線解析式即可求出a的值和頂點D的坐標；（2）若四邊形DEFP為平行四邊形時，則DP∥BC，設直線DP的解析式為y=mx+n，則m=﹣ ，求出直線DP的解析式后，聯立拋物線解析式和直線DP的解析式即可求出P的坐標；（3）由題意可知，0≤t≤6，若△QMN為等腰直角三角形，則共有三種情況，①∠NMQ=90°；②∠MNQ=90°；③∠NQM=90°．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解拋物線與坐標軸的交點的相關知識，掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．