Question

【題目】設a，b是任意兩個不等實數，我們規定：滿足不等式a≤x≤b的實數x的所有取值的全體叫做閉區間，表示為[a，b]．對于一個函數，如果它的自變量x與函數值y滿足：當m≤x≤n時，有m≤y≤n，我們就稱此函數是閉區間[m，n]上的“閉函數”．如函數y=﹣x+4，當x=1時，y=3；當x=3時，y=1，即當1≤x≤3時，恒有1≤y≤3，所以說函數y=﹣x+4是閉區間[1，3]上的“閉函數”，同理函數y=x也是閉區間[1，3]上的“閉函數”．

（1）反比例函數y=是閉區間[1，2018]上的“閉函數”嗎？請判斷并說明理由；

（2）如果已知二次函數y=x2﹣4x+k是閉區間[2，t]上的“閉函數”，求k和t的值；

（3）如果（2）所述的二次函數的圖象交y軸于C點，A為此二次函數圖象的頂點，B為直線x=1上的一點，當△ABC為直角三角形時，寫出點B的坐標．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數y=是閉區間[1，2018]上的“閉函數”（2）t=3（3）當△ABC為直角三角形時，點B的坐標（1，4+），（1，4﹣），（1，），（1，）

【解析】分析： （1）由k＞0可知反比例函數y=在閉區間[1，2016]上y隨x的增大而減小，然后將x=1，x=2018別代入反比例解析式的解析式，從而可求得y的范圍，于是可做出判斷；
（2）先求得二次函數的對稱軸為x=1，a=1＞0，根據二次函數的性質可知y=x2-4x+k在閉區間[2，t]上y隨x的增大而增大，然后將x=2，y=k-4，x=t，y=t2-4t+k分別代入二次函數的解析式，從而可求得k的值；
（3）根據勾股定理的逆定理，可得方程，根據解方程，可得答案．

詳解：

（1）∵k=2018，

∴當1≤x≤2018時，y隨x的增大而減小．

∴當x=1時，y=2018，x=2018時，y=1．

∴1≤y≤2108．

∴反比例函數y= 是閉區間[1，2018]上的“閉函數”．

（2）∵x=﹣=2，a=1＞0，

∴二次函數y=x2﹣4x+k在閉區間[2，t]上y隨x的增大而增大．

∵二次函數y=x2﹣2x﹣k是閉區間[2，t]上的“閉函數”，

∴當x=2時，y=k﹣4，x=t時，y=t2﹣4t+k．

，

解得k=6，t=3，t=﹣2，

因為t＞2，

∴t=2舍去，

∴t=3．

（3）由二次函數的圖象交y軸于C點，A為此二次函數圖象的頂點，得

A（2，2），C（0，6）設B（1，t），

由勾股定理，得AC2=22+（2﹣6）2，AB2=（2﹣1）2+（2﹣t）2，BC2=12+（t﹣6）2，

①當∠ABC=90°時，AB2+BC2=AC2，即

（2﹣1）2+（2﹣t）2+（t﹣6）2+1=22+（2﹣6）2，

化簡，得t2﹣8t+11=0，解得t=4+或t=4﹣，

B（1，4+），（1，4﹣）；

②當∠BAC=90°是，AB2+AC2=BC2，

即（2﹣1）2+（2﹣t）2+22+（2﹣6）2=12+（t﹣6）2，

化簡，得8t=12，

解得t=，

B（1，），

③當∠ACB=90°時，AC2+CB2=AB2，

即22+（2﹣6）2+12+（t﹣6）2=（2﹣1）2+（2﹣t）2，

化簡，得2t=13，

解得t= ，

B（1，），

綜上所述：當△ABC為直角三角形時，點B的坐標（1，4+），（1，4﹣），（1，），（1，）．