Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，三角形AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結論：①BE=DF，②AG=2GC，③BE+DF=EF，④S△CEF=2S△ABE正確的有_____（只填序號）．

Answer 1

【答案】①④．

【解析】分析：先通過證明Rt△ABE≌Rt△ADF可對①進行判斷；再證明AG垂直平分EF得到CG=EF，即EF=2CG，則利用EF＞AG可對②進行判斷；由于∠EAG=30°，∠BAE=15°，則可判斷BE≠EG，然后利用BE+DF=2BE，EF=2EG可對③進行判斷；延長CB到F′使BF′=DF，作EH⊥AF′于H，如圖，易得△ABF′≌△ABE，∠EAF′=30°，設CG=x，則EG=GF=x，AE=2x，所以EH=x，然后根據三角形面積公式可對④進行判斷．

詳解：∵△AEF為等邊三角形，

∴AE=AF，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，

在Rt△ABE和Rt△ADF中

∴Rt△ABE≌Rt△ADF，

∴BE=DF，所以①正確；

∠BAE=∠DAF，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAG=∠FAG，

∴AG垂直平分EF，

∴CG=EF，即EF=2CG，

而EF＞AG，

∴AG＜2CG，所以②錯誤；

∵∠EAG=30°，∠BAE=15°，

∴BE≠EG，

∴BE+DF=2BE，EF=2EG，

∴BE+DF≠EF，所以③錯誤；

延長CB到F′使BF′=DF，作EH⊥AF′于H，如圖，

易得△ABF′≌△ABE，

∴∠EAF′=30°，

設CG=x，則EG=GF=x，AE=2x，

∴EH=x，

∴S△AF′E=2xx=x2，S△CEF=x2x=x2，

∴S△CEF=2S△ABE，所以④正確．

故答案為①④．