Question

【題目】如圖，菱形中，，過點作交對角線于點，連接，取的中點，連接.

（1）請你根據題意補全圖形；

（2）若，則菱形的面積為 .（直接寫出答案）

（3）請用等式表示線段、、之間的數量關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）畫圖見解析；（2）50；（3），證明見解析.

【解析】

（1）根據已知條件畫圖即可；（2）根據菱形的面積計算公式計算即可.

（3）取AE中點G，連接GF、GD，證明△DGF是直角三角形，在Rt△DGF中，利用GD2+GF2=DF2，可推導出DF、AE、BC之間的數量關系．

（1）如圖1：

（2）50.理由如下：

設菱形AD邊上的高為h，則h=ABsin60°=10×=5.

∴菱形的面積=10×5=50.

（3）DF、BC、AE之間的數量關系是：AE2+BC2=4DF2．
證明：取AE中點G，連接GF、GD．

∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠1=∠2=∠BAD=30°，AB=BC．
∵點F是BE的中點，
∴GF是△ABE的中位線．
∴GF=AB，GF∥AB．
∴∠3=∠1=30°．
∵ED⊥AD于D，
∴在Rt△ADE中，DG=AG=AE．
∴∠2=∠4=30°．
∴∠5=60°．
∴∠FGD=∠3+∠5=90°．
∴在Rt△DGF中，GD2+GF2=DF2．
∴（AE）2+（BC）2=DF2．
即AE2+BC2=4DF2．