Question

【題目】如圖1，直線y＝﹣x+2與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y＝-x2+bx+c經過B、C兩點，點P是拋物線上的一個動點，過點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，交直線y＝﹣x+2于點D．設點P的橫坐標為m．

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）若以P、D、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點Q的坐標；

（3）如圖2，當點P位于直線BC上方的拋物線上時，過點P作PE⊥BC于點E，求當PE取得最大值時點P的坐標，并求PE的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）(2，0)或(2+2，0)或(2﹣2，0)；（3）P(2，3)，PE最大值為．

【解析】

（1）根據直線y＝﹣x+2與x軸交于點B，與y軸交于點C可求出B、C兩點坐標，代入y＝-x2+bx+c可得關于b、c的二元一次方程組，解方程組求出b、c的值即可得答案；

（2）根據PQ⊥x軸，直線y＝﹣x+2于點D，點P的橫坐標為m可用m表示出D、Q兩點坐標，根據平行四邊形的性質可得OC=PD=2，根據兩點間距離公式求出m的值即可得答案；

（3）利用勾股定理可求出BC的長，根據平行線的性質可得∠OCB＝∠PDE，可證明△PED∽△BOC，根據相似三角形的性質可用m表示出PE的長，根據二次函數的性質即可得答案．

（1）∵直線y＝﹣x+2與x軸交于點B，與y軸交于點C，

∴點B、C的坐標分別為（4，0）、（0，2）．

∵拋物線y＝-x2+bx+c經過B、C兩點，

∴，

解得，

∴二次函數表達式為y＝﹣x2+x+2．

（2）∵P點在拋物線上，橫坐標為m，

∴P點坐標為（m，﹣m2+m+2），

∵PQ⊥x軸，垂足為Q，交直線y＝﹣x+2于點D．

∴Q坐標為（m，0），D點坐標為（m，﹣m+2），

當P、D、O、C為頂點的四邊形為平行四邊形時，則有PD＝OC＝2，

∴|﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）|＝2，即|﹣m2+2m|＝2，

當﹣m2+2m＝2時，

解得：m＝2，

∴Q坐標為（2，0），

當﹣m2+2m＝﹣2時，

解得：m＝2±2，

∴Q坐標為（2+2，0）或（2﹣2，0），

綜上可知：Q點坐標為（2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）．

（3）由（2）可知P點坐標為（m，﹣m2+m+2），Q坐標為（m，0），D點坐標為（m，﹣m+2），

∴PD＝﹣m2+2m．

在Rt△OBC中，OC＝2，OB＝4，

∴BC＝=2，

∵PQ∥OC，

∴∠OCB＝∠PDE．

∵PE⊥BC，

∴∠PED＝∠COB＝90°．

∴△PED∽△BOC．

∴，

即，

解得PE＝，

∵P在直線BC上方，

∴0＜m＜4，

∴當m＝2時 PE有最大值，

當m＝2時，﹣m2+m+2=3，

∴此時P點坐標為（2，3）．