Question

【題目】如圖，為等邊三角形，為其內心，射線交于點， 點為射線上一動點，將射線繞點逆時針旋轉，與射線交于點，當時，的長度為__________

Answer 1

【答案】或；

【解析】

根據等邊三角形的性質和內心的定義可得∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AD平分∠BAC，AB=BC=AC，然后利用銳角三角函數求出BD、CD、OD和OC，然后根據點P和點O的相對位置分類討論，分別畫出對應的圖形，利用全等三角形的判定及性質、銳角三角函數和相似三角形的判定及性質即可求出結論．

解：∵為等邊三角形，為其內心，

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AD平分∠BAC，AB=BC=AC

∴AD⊥BC，BD=CD，∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°

∴BD=CD==，AB =AC=BC=2BD=

連接OC

易知OC=OA，∠OCD=30°

在Rt△OCD中，OD=CD·tan∠OCD=2，OC=2OD=4

①當點P在點O上方時，如下圖所示，設射線繞點逆時針旋轉后，點P的對應點為E，連接BE，過點E作EF⊥BC于F

∴∠PCE=60°，EC=PC，AP=AD－OD－PO=3

∴∠PCE=∠ACB=60°

∴∠ECB=∠PCA

∵BC=AC

∴△ECB≌△PCA

∴BE=AP=3，∠EBC=∠PAC=30°

∴EF=BE·sin∠EBC=,BF= BE·cos∠EBC=

∴CF=BC－BF=

∵EF⊥BC，AQ⊥BC

∴EF∥AQ

∴△CDQ∽△CFE

∴

即

解得：DQ=；

②當點P在點O下方時，如下圖所示，設射線繞點逆時針旋轉后，點P的對應點為E，連接BE，過點E作EF⊥BC于F

∴∠PCE=60°，EC=PC，AP=AD－OD＋PO=5

∴∠PCE=∠ACB=60°

∴∠ECB=∠PCA

∵BC=AC

∴△ECB≌△PCA

∴BE=AP=5，∠EBC=∠PAC=30°

∴EF=BE·sin∠EBC=,BF= BE·cos∠EBC=

∴CF=BC－BF=

∵EF⊥BC，AQ⊥BC

∴EF∥AQ

∴△CDQ∽△CFE

∴

即

解得：DQ=；

綜上：DQ=或

故答案為：或．