Question

【題目】如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)，且與直線交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作軸交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求的最小值；

（3）設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式；（2）的最小值為；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．

【解析】

（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入，，B的坐標(biāo)為，將，代入，解得，，因此拋物線的解析式；

（2）設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，有最大值為2，此時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P．，此時(shí)最小；

（3）作軸于點(diǎn)H，連接、、、、，由，，可得，因?yàn)?/span>，，所以，可知外接圓的圓心為H，于是設(shè)，則，或，求得符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．

解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入，

，

∴B的坐標(biāo)為，

將，代入，

解得，，

∴拋物線的解析式；

（2）設(shè)，則，

，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值為2，

此時(shí)，

作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P．

，此時(shí)最小，

∵，

∴，

，

即的最小值為；

（3）作軸于點(diǎn)H，連接、、、、，

∵拋物線的解析式，

∴，

∵，

∴，

∵，

，

∴，

可知外接圓的圓心為H，

∴

設(shè)，

則，

或

∴符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．