Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線l的函數表達式為y=x，點O1的坐標為（1，0），以O1為圓心，O1O為半徑畫圓，交直線l于點P1 ， 交x軸正半軸于點O2 ， 以O2為圓心，O2O為半徑畫圓，交直線l于點P2 ， 交x軸正半軸于點O3 ， 以O3為圓心，O3O為半徑畫圓，交直線l于點P3 ， 交x軸正半軸于點O4；…按此做法進行下去，其中 的長為 ．

Answer 1

【答案】22015π
【解析】解：連接P1O1 ， P2O2 ， P3O3…

∵P1 是⊙O2上的點，
∴P1O1=OO1 ，
∵直線l解析式為y=x，
∴∠P1OO1=45°，
∴△P1OO1為等腰直角三角形，即P1O1⊥x軸，
同理，PnOn垂直于x軸，
∴ 為 圓的周長，
∵以O1為圓心，O1O為半徑畫圓，交x軸正半軸于點O2 ， 以O2為圓心，O2O為半徑畫圓，交x軸正半軸于點O3 ， 以此類推，
∴OOn=2n﹣1 ，
∴ = 2πOOn= π2n﹣1=2n﹣2π，
當n=2017時， =22015π．
故答案為 22015π．
由題意可作輔助線，連接P1O1 ， P2O2 ， P3O3…，根據直線l解析式為y=x可得∠P1OO1=45°，即△P1OO1為等腰直角三角形，所以有P1O1⊥x軸，同理可得PnOn垂直于x軸，弧P n On + 1的長=圓周長，所以OOn=,則弧PnOn+1=2,把n=2017代入計算即可求解。