Question

【題目】我們知道，任意一個正整數n都可以進行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解．并規定：F（n）= ． 例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= ．
（Ⅰ）如果一個正整數m是另外一個正整數n的平方，我們稱正整數m是完全平方數．
求證：對任意一個完全平方數m，總有F（m）=1；
（Ⅱ）如果一個兩位正整數t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數），交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得的差為36，那么我們稱這個數t為“吉祥數”，求所有“吉祥數”；
（Ⅲ）在（2）所得“吉祥數”中，求F（t）的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：對任意一個完全平方數m，設m=n2（n為正整數）， ∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴對任意一個完全平方數m，總有F（m）= =1；
（Ⅱ）設交換t的個位上數與十位上的數得到的新數為t′，則t′=10y+x，
∵t是“吉祥數”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數，
∴滿足“吉祥數”的有：15，26，37，48，59；
（Ⅲ）F（15）= ，F（26）= ，F（37）= ，F（48）= = ，F（59）= ，
∵ ＞ ＞ ＞ ＞ ，
∴所有“吉祥數”中，F（t）的最大值為 ．
【解析】（Ⅰ）對任意一個完全平方數m，設m=n2（n為正整數），找出m的最佳分解，確定出F（m）的值即可； （Ⅱ）設交換t的個位上數與十位上的數得到的新數為t′，則t′=10y+x，根據“吉祥數”的定義確定出x與y的關系式，進而求出所求即可；
（Ⅲ）利用“吉祥數”的定義分別求出各自的值，進而確定出F（t）的最大值即可．
【考點精析】掌握因式分解的應用是解答本題的根本，需要知道因式分解是整式乘法的逆向變形，可以應用與數字計算、求值、整除性問題、判斷三角形的形狀、解方程．