Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A(,0),AB⊥軸,且AB=10,點C（0，b）,,b滿足.點P（t,0）是線段AO上一點（不包含A,O）

（1）當t=5時，求PB：PC的值；

（2）當PC+PB最小時，求t的值;

（3）請根據以上的啟發，解決如下問題:正數m,n滿足m+n=10,且正數=，則正數的最小值=________.

Answer 1

【答案】（1）的值為；（2）當最小時，t的值為15；（3）．

【解析】

（1）先根據二次根式的被開方數的非負性求出a、b的值，從而可得OA、OC的長，再利用勾股定理分別求出PB、PC的長，從而可得出答案；

（2）如圖（見解析），作點B關于x軸的對稱點，從而可得的長，再根據兩點之間線段最短確認最小時點P的位置，然后根據等腰直角三角形的性質求解即可得；

（3）先根據題（1）得出的式子，可發現與所求的的形式完全一樣，因此，參照題（2）的方法，畫出圖形，利用幾何方法求解即可（與題（2）的思路完全相同）．

，解得

將代入得，

（1）當時，則

軸

故的值為；

（2）如圖1，作點B關于x軸的對稱點，過點作軸于點D，連接，交x軸于點

由軸對稱的性質得：

由兩點之間線段最短得：當點P與點重合時，最小，最小值為

是等腰直角三角形，

是等腰直角三角形，

故當最小時，t的值為15；

（3）由（1）知，

因此，對于可參照（2）的方法，畫出如圖2，其中，點B與點關于x軸對稱，軸，

則

由（2）可知，的最小值為

即的最小值為

故答案為：．