Question

【題目】已知：Rt△ABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個直角三角形放置在平面直角坐標系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OA＜OB），直角頂點C落在y軸正半軸上（如圖1）．

（1）求線段OA,OB的長和經過點A，B，C的拋物線的關系式．
（2）如圖2，點D的坐標為（2，0），點P（m，n）是該拋物線上的一個動點（其中m＞0，n＞0），連接DP交BC于點E．
①當△BDE是等腰三角形時，直接寫出此時點E的坐標．
②又連接CD、CP（如圖3），△CDP是否有最大面積？若有，求出△CDP的最大面積和此時點P的坐標；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設OA的長為x，則OB=5﹣x；

∵OC=2，AB=5，∠BOC=∠AOC=90°，∠OAC=∠OCB；

∴△AOC∽△COB，∴OC2=OAOB

∴22=x（5﹣x）

解得：x1=1，x2=4，

∵OA＜OB，∴OA=1，OB=4；

∴點A、B、C的坐標分別是：A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；

方法一：設經過點A、B、C的拋物線的關系式為：y=ax2+bx+2，

將A、B、C三點的坐標代入得

解得：a= ，b= ，c=2

所以這個二次函數的表達式為：

方法二：設過點A、B、C的拋物線的關系式為：y=a（x+1）（x﹣4）

將C點的坐標代入得：a=

所以這個二次函數的表達式為：

（2）解：①當△BDE是等腰三角形時，點E的坐標分別是： ， ， ．

②如圖1，連接OP，

S△CDP=S四邊形CODP﹣S△COD=S△COP+S△ODP﹣S△COD

= =m+n﹣2

= =

∴當m= 時，△CDP的面積最大．此時P點的坐標為（ ， ），

S△CDP的最大值是 ．

另解：如圖2、圖3，過點P作PF⊥x軸于點F，則

S△CDP=S梯形COFP﹣S△COD﹣S△DFP

= =m+n﹣2

= =

∴當m= 時，△CDP的面積最大．此時P點的坐標為（ ， ），

S△CDP的最大值是

【解析】（1）利用相似三角形的性質對應邊成比例可列出比例式，構建方程；求出A、B、C坐標代入解析式即可 ；（2）△BDE是等腰三角形可分為三類：BD=BE或DB=DE或EB=ED；（3）最值問題的基本解決辦法是函數思想，用m的代數式表示面積，通過P向x軸作垂線，構造梯形，作差法表示三角形面積，構建函數，利用配方法求出最值.