Question

【題目】如圖，矩形OABC中，點A在x軸上，點C在y軸上，點B的坐標是，矩形OABC沿直線BD折疊，使得點C落在對角線OB上的點E處，折痕與OC交于點D．

（1）求直線OB的解析式及線段OE的長；

（2）求直線BD的解析式及點E的坐標；

（3）若點P是平面內任意一點，點M是直線BD上的一個動點，過點M作軸，垂足為點N，在點M的運動過程中是否存在以P、N、E、O為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），OE=4；（2），；（3）存在，點M的坐標為或或或

【解析】

利用待定系數法求出k，再利用勾股定理求出OB，由折疊求出，即可得出結論；

利用勾股定理求出點D坐標，利用待定系數法求出直線BD的解析式，最后用三角形的面積公式求出點E的橫坐標，即可得出結論；

分兩種情況，利用菱形的性質求出點N坐標，進而得出點M的橫坐標，代入直線BD解析式中，即可得出結論．

解：設直線OB的解析式為，

將點代入中，得，

，

直線OB的解析式為，

四邊形OABC是矩形，且，

，，

，，

根據勾股定理得，，

由折疊知，，

；

設，

，

由折疊知，，，

在中，，

根據勾股定理得，，

，

，

，，

設直線BD的解析式為 ，

，

∴6k`+5=8

∴K`=

直線BD的解析式為，

由知，直線OB的解析式為，

設點，

根據的面積得，，

，

；

由知，，

以P、N、E、O為頂點的四邊形是菱形，

當OE是菱形的邊時，，

或，

Ⅰ、當時，

軸，

點M的橫坐標為4，

點M是直線BD：上，

，

Ⅱ、當時，

軸，

點M的橫坐標為，

點M是直線BD：上，

，

當OE是菱形的對角線時，記對角線的交點為，，

由知，，

，

由知，直線OB的解析式為，

點過直線PN，

直線PN的解析式為，

令，

，

，

，

軸，

點M的橫坐標為，

點M是直線BD：上，

，

當ON為對角線時，ON與EP互相平分，

點，

；

即：點M的坐標為或或或