Question

【題目】已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的兩根是m，n且m＜n．如圖，若拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象經過點A（m，0）、B（0，n）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）若（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為C．根據圖象回答，當x取何值時，拋物線的圖象在直線BC的上方？

（3）點P在線段OC上，作PE⊥x軸與拋物線交于點E，若直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）﹣3＜x＜0；（3）（﹣1，0）．

【解析】

（1）求出方程的解，得到A、B的坐標，代入拋物線得到方程組，求出方程組的解即可；

（2）求出C的坐標，根據B、C的坐標求出即可；

（3）設直線BC交PE于F，P點坐標為（a，0），則E點坐標為（a，﹣a2﹣2a+3），根據三角形的面積求出F的坐標，設直線BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐標代入求出直線BC，把F的坐標代入求出即可．

（1）∵x2﹣4x+3=0的兩個根為 x1=1，x2=3，∴A點的坐標為（1，0），B點的坐標為（0，3）．

又∵拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象經過點A（1，0）、B（0，3）兩點，∴，得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3．

（2）作直線BC，由（1）得：y=﹣x2﹣2x+3．

∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸的另一個交點為C，令﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=1，x2=﹣3，∴C點的坐標為（﹣3，0），由圖可知：當﹣3＜x＜0時，拋物線的圖象在直線BC的上方．

（3）設直線BC交PE于F，P點坐標為（a，0），則E點坐標為（a，﹣a2﹣2a+3）．

∵直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分，∴F是線段PE的中點（根據等底等高的三角形的面積相等），即F點的坐標是（a，）．

∵直線BC過點B（0.3）和C（﹣3，0），設直線BC的解析式是y=kx+b（k≠0），代入得：，∴，∴直線BC的解析式為y=x+3．

∵點F在直線BC上，∴點F的坐標滿足直線BC的解析式，即=a+3，

解得：a1=﹣1，a2=﹣3（此時P點與點C重合，舍去），∴P點的坐標是（﹣1，0）．