Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（-2，0），OB=OA，且∠AOB=120°．

（1）求經過A、O、B三點的拋物線的解析式；

（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△OBC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若點M為拋物線上一點，點N為對稱軸上一點，是否存在點M、N使得A、O、M、N構成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（－1，）；（3） M1（－1，－），M2（－3，），M3（1，）．

【解析】

（1）先確定出點B坐標，再用待定系數法即可；

（2）先判斷出使△BOC的周長最小的點C的位置，再求解即可；

（3）分OA為對角線、為邊這兩種情況進行討論計算即可得出答案．

(1)如圖所示，過點B作BD⊥x軸于點D,

∵點A的坐標為（-2，0），OB=OA，

∴OB=OA=2，

∵∠AOB=120°，

∴∠BOD=60°，

在Rt△OBD中,∠ODB=90°，

∴∠OBD=30°，

∴OD=1,DB=，

∴點B的坐標是(1, )，

設所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

由已知可得：

，

解得：

∴所求拋物線解析式為；

(2)存在.

如圖所示，

∵△BOC的周長=OB+BC+CO，

又∵OB=2，

∴要使△BOC的周長最小，必須BC+CO最小，

∵點O和點A關于對稱軸對稱，

∴連接AB與對稱軸的交點即為點C，

由對稱可知，OC=OA，

此時△BOC的周長=OB+BC+CO=OB+BC+AC；

點C為直線AB與拋物線對稱軸的交點，

設直線AB的解析式為y=kx+b，

將點A(2,0),B(1,)分別代入，得：

，

解得：，

∴直線AB的解析式為y=x+，

當x=1時span>,y=，

∴所求點C的坐標為(1,)；

(3)如圖所示，

①當以OA為對角線時，

∵OA與MN互相垂直且平分，

∴點M1(1,)，

②當以OA為邊時，

∵OA=MN且OA∥MN，

即MN=2,MN∥x軸，

設N(1,t)，

則M(3,t)或(1,t)

將M點坐標代入，

解得，t=，

∴M2(3,)，M3 (1,)

綜上：點M的坐標為：（－1，－），或（－3，）或（1，）．