Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y＝ax2﹣5ax+c 交 x 軸于點 A，點 A 的坐標為（4，0）．

(1)用含 a 的代數式表示 c．

(2)當 a＝時，求 x 為何值時 y 取得最小值，并求出 y 的最小值．

(3)當 a＝時，求 0≤x≤6 時 y 的取值范圍．

(4)已知點 B 的坐標為（0，3），當拋物線的頂點落在△AOB 外接圓內部時，直接寫出 a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）c＝4a；（2）當 x＝時，y 取得最小值，最小值為﹣；（3）當 0≤x≤6 時，y 的取值范圍是﹣5≤y≤；（4）-﹣＜a＜﹣+且 a≠0．

【解析】

（1）由拋物線和x軸的交點A的坐標代入即可求出

（2）已知a的值可求出c的值，從而可以求出拋物線的解析式；再把拋物線的解析式用配方法表示出來，根據拋物線的性質特點求出

（3）已知a的值求出b，從而求出拋物線的解析式；把拋物線用配方法表示出來根據其性質可求出y的取值范圍

（4）把拋物線的解析式用配方法表示出來求出其對稱軸和定點坐標，根據題意作出圓在進行分析解答

（1）將 A（4，0）代入 y＝ax2﹣5ax+c，得：16a﹣20a+c＝0，解得：c＝4a．

（2）當 a＝時，c＝2，

∴拋物線的解析式為 y＝ x2﹣ x+2＝（x﹣）2﹣ ．

∵a＝ ＞0，

∴當 x＝時，y 取得最小值，最小值為﹣．

（3）當 a＝﹣時，c＝﹣2，

∴拋物線的解析式為 y＝﹣x2+ x﹣2＝﹣（x﹣ ）2+ ．

∵a＝﹣ ＜0，

∴當 x＝ 時，y 取得最大值，最大值為 ； 當 x＝0 時，y＝﹣2；

當 x＝6 時，y＝﹣×62+ ×6﹣2＝﹣5．

∴當 0≤x≤6 時，y 的取值范圍是﹣5≤y≤ ．

（4）∵拋物線的解析式為 y＝ax2﹣5ax+4a＝a（x﹣ ）2﹣ a，

∴拋物線的對稱軸為直線 x＝ ，頂點坐標為（ ，﹣a）．

設線段 AB 的中點為 O，以 AB 為直徑作圓，設拋物線對稱軸與⊙O 交于點 C，D，過點 O

作 OH⊥CD 于點 H，如圖所示．

∵點 A 的坐標為（4，0），點 B 的坐標（0，3），

∴AB＝5，點 O 的坐標為（2，），點 H 的坐標為（，）．在 Rt△COH 中，

OC＝AB＝ ，OH＝ ，

∴CH＝ ，

∴點 C 的坐標為（，）．

同理：點 D 的坐標為（，﹣），

∴ ，

解得：﹣- ＜a＜﹣+ 且 a≠0．