Question

如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是BC邊上的點，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CP于點P，交邊CD于點F，

（1）的值為　 　；
（2）求證：AE=EP；
（3）在AB邊上是否存在點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠D。
∵∠AEP=90°，∴∠BAE=∠FEC。
在Rt△ABE中，AB=3，BE=1，∴。
∴，
（2）證明：在BA邊上截取BG=BE，連接GE，

∵∠B=90°，BG=BE，∴∠BGE=45°。∴∠AGE=135°。
∵CP平分外角，∴∠DCP=45°。∴∠ECP=135°。
∴∠AGE=∠ECP。
∵AB=CB，BG=BE，
∴AB﹣BG=BC﹣BE，即：AG=CE。
又∠GAE=∠CEP，
∵在△AGE和△ECP中，∠AGE=∠ECP，AG=CE，∠GAE=∠CEP，
∴△AGE≌△ECP（ASA）。
∴AE=EP。
（3）存在。證明如下：
如圖，作DM⊥AE于AB交于點M，則有：DM∥EP，

連接ME、DP，
∵在△ADM與△BAE中，
AD=BA，∠ADM=∠BAE，∠DAM=∠ABE，
∴△ADM≌△BAE（AAS）。∴MD=AE。
∵由（2）AE=EP，∴MD=EP。∴MDEP。
∴四邊形DMEP為平行四邊形。

試題分析：（1）由正方形的性質可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可證得：∠BAE=∠CEF，根據同角的正弦值相等即可解答：
（2）在BA邊上截取BG=BE，連接GE，根據角角之間的關系得到∠AGE=∠ECP，由AB=CB，BG=BE，得AG=EC，結合∠GAE=∠CEP，證明△AKE≌△ECP，于是結論得出。
（3）作DM⊥AE于AB交于點M，連接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知條件證明△ADM≌△BAE，進而證明MD=EP，四邊形DMEP是平行四邊形即可證出。