Question

【題目】已知二次函數y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m為常數，且a≠0）．
（1）求證：不論a與m為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個公共點；
（2）設該函數的圖象與x軸的兩個交點為A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），且x12+x22=25，求m的值；
（3）設該函數的圖象的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，且△ABC的面積為1，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：令y=0，a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=0，

△=（﹣a）2﹣4a×0=a2，

∵a≠0，

∴a2＞0，

∴不論a與m為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個公共點

（2）解：y=0，則a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m）（x﹣m﹣1）=0，

解得x1=m，x2=m+1，

∵x12+x22=25，

∴m2+（m+1）2=25，

解得m1=﹣4，m2=3．

故m的值為﹣4或3

（3）解：∵x1=m，x2=m+1，

∴AB=（m+1）﹣m=1，

y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m﹣ ）2﹣ ，

△ABC的面積= ×1×|﹣ |=1，

解得a=±8．

故a的值是±8

【解析】（1）把（x-m）看作一個整體，令y=0，利用根的判別式進行判斷數的圖象與x軸總有兩個公共點；
（2）令y=0，利用因式分解法解方程求出x1=m，x2=m+1，根據x12+x22=25，代入得到關于m的方程，解方程即可求出m的值；
（3）根據兩點間的距離公式求出AB，再把拋物線轉化為頂點式形式求出頂點坐標，再利用三角形的面積公式列式進行計算即可求出a的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用根與系數的關系和三角形的面積的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商；三角形的面積=1/2×底×高．