Question

【題目】如圖，點(diǎn)A、B、C均在⊙O上，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∠ACB=45°，∠AOC=150°．

（1）求證：CD=CB；

（2）⊙O的半徑為，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）延長(zhǎng)AO交⊙O于E點(diǎn)，連接CE，由題意可求∠E=75°，∠OAC=∠OCA=15°，∠OCD=90°，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，以及三角形內(nèi)角和定理可得∠D=∠CBD=75°，即可證CD=CB；
（2）連接OB，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，由OA=OB，可得∠OAB=∠OBA=45°，即可求∠AOB=90°，根據(jù)勾股定理可求AB的長(zhǎng)，AF的長(zhǎng)，CF的長(zhǎng)，即可求AC的長(zhǎng)．

（1）證明：延長(zhǎng)AO交⊙O于E點(diǎn)，連接CE

∵AE是直徑

∴∠ACE=90°

∵∠ACB=45°

∴∠BCE=135°

∵AO=OC=EO，∠AOC=150°

∴∠OAC=∠OCA=15°，∠OEC=∠OCE=75°

∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形

∴∠EAB+∠ECB=180°，∠E+∠ABC=180°

∴∠EAB=45°，∠ABC=105°，

∴∠CAD=30°，∠CBD=75°

∵CD是⊙O切線，

∴∠OCD=90°

∵∠OCA=15°，∠ACB=45°

∴∠CBD=30°

∵∠D+∠CBD+∠BCD=180°

∴∠D=75°

∴∠D=∠CBD

∴CD=CB

（2）連接OB，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，

∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA=45°

∴∠AOB=90°

∴AB= =2

∵∠CAD=30°，BF⊥AC

∴BF=1，AF=BF=

∵∠ACB=45°，BF⊥AC

∴∠ACB=∠CBF=45°

∴CF=BF=1

∴AC=+1