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2.已知實數a、b滿足等式()^a=()^b，下列五個關系式：①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.　

其中不可能成立的關系式有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A.1個　　　　　　　 B.2個　　　　　　　　　　　 C.3個　　　　　　　　　 D.4個　

答案　 B　

1.化簡下列各式(其中各字母均為正數)：　

(1)　

(2)　

解 (1)原式=

(2)原式=-

=-

5.(2007·山東理，2)已知集合M={-1,1},N={x|<2^x+1<4,x∈Z},則M∩N等于　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.{-1,1}?　　　　　　　 B.{-1}?　　　　　　 C.{0}?　　　　　　　　 D.{-1,0}　

答案?B

?　

例1　 已知a=,b=9.求：　

(1)；

(2)　

解 (1)原式=aa=a

∵a=，∴原式=3.　

(2)方法一　 化去負指數后解.　

=a+b.　

∵a=，b=9，∴a+b=.　

方法二 利用運算性質解.　

=b+a.　

∵a=，b=9，∴a+b=.

例2　 函數f(x)=x²-bx+c滿足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,則f(b^x)與f(c^x)的大小關系是　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.f(b^x)≤f(c^x)?　　　 　　　　　　　　　　　B.f(b^x)≥f(c^x)

?C.f(b^x)>f(c^x)?　　　　　　　　　　　　　　　 D.大小關系隨x的不同而不同　

答案?A?　

例3　 求下列函數的定義域、值域及其單調區間：　

(1)f(x)=;　

(2)g(x)=-()^x+4()^x+5.　

解 (1)依題意x²-5x+4≥0,　

解得x≥4或x≤1,　

∴f(x)的定義域是(-∞，1］∪［4，+∞).　

令u=

∵x∈(-∞，1］∪［4，+∞)，　

∴u≥0，即≥0，　

而f(x)=3≥3⁰=1,　

∴函數f(x)的值域是［1，+∞).　

∵u=，　

∴當x∈(-∞，1］時，u是減函數，　

當x∈［4，+∞)時，u是增函數.　

而3>1,∴由復合函數的單調性可知，　

f(x)=在(-∞，1］上是減函數，　

在［4，+∞)上是增函數.　

故f(x)的增區間是［4，+∞)，減區間是(-∞，1］.　

(2)由g(x)=-()^x+4()^x+5　

=-()^2x+4()^x+5,　

∴函數的定義域為R，令t=()^x (t>0),　

∴g(t)=-t²+4t+5=-(t-2)²+9,　

∵t>0,∴g(t)=-(t-2)²+9≤9,　

等號成立條件是t=2,　

即g(x)≤9,等號成立條件是()^x=2，即x=-1，　

∴g(x)的值域是(-∞，9］.　

由g(t)=-(t-2)²+9 (t>0),而t=()^x是減函數，　

∴要求g(x)的增區間實際上是求g(t)的減區間，　

求g(x)的減區間實際上是求g(t)的增區間.　

∵g(t)在(0，2］上遞增，在［2，+∞)上遞減，　

由0<t=()^x≤2,可得x≥-1,　

由t=()^x≥2,可得x≤-1.　

∴g(x)在［-1，+∞)上遞減，在(-∞，-1］上遞增，　

故g(x)的單調遞增區間是(-∞，-1］，　

單調遞減區間是［-1，+∞).　

例4 (12分)設a>0,f(x)=是R上的偶函數.　

(1)求a的值；　

(2)求證：f(x)在(0，+∞)上是增函數.　

(1)解 　∵f(x)是R上的偶函數，∴f(-x)=f(x)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分　

∴　

∴(a-)(e^x-)=0對一切x均成立，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分　

∴a-=0，而a＞0,∴a=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分　

(2)證明　 在(0，+∞)上任取x₁、x₂，且x₁<x₂,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分　

則f(x₁)-f(x₂)=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 8分

∵x₁＜x₂,∴,有＞0.　

∵x₁＞0,x₂＞0,∴x₁+x₂＞0,∴＞1,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分　

-1<0.∴f(x₁)-f(x₂)<0,　

即f(x₁)＜f(x₂),　

故f(x)在(0,+∞)上是增函數.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分　

4.關于函數f(x)=2^x-2^-x(x∈R)，有下列三個結論：　

①f(x)的值域為R；　

②f(x)是R上的增函數；　

③對任意x∈R,有f(-x)+f(x)=0成立.　

其中全部正確的結論是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

A.①②③　　　　　　　　 B.①③　　　　 　　　　C.①②　　　　　　 ?D.②③　

答案?A?　

3.函數f(x)=a^x-b的圖象如圖所示，其中a、b為常數，則下列結論正確的是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.a＞1,b＜0

?B.a＞1,b＞0　

?C.0＜a＜1,b＞0　

?D.0＜a＜1,b＜0　

答案?D?　

2.設指數函數f(x)=a^x (a>0且a≠1)，則下列等式不正確的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )　

?A.f(x+y)=f(x)·f(y)　

?B.f((xy)ⁿ)=f ⁿ(x)·f ⁿ(y)　

?C.f(x-y)=,　

?D.f(nx)=f ⁿ(x)　

答案?B?　

1.已知a<,則化簡的結果是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　(　　 )

　 A.　　　　　　　　　　　　　　 B.-　　　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　 D.-

　 　答案　 C

12.設函數f(x)在(-∞,+∞)上滿足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在閉區間［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0.

(1)試判斷函數y=f(x)的奇偶性；　

(2)試求方程f(x)=0在閉區間［-2 005，2 005］上的根的個數，并證明你的結論.　

解 (1)由　

從而知函數y=f(x)的周期為T=10.又f(3)=f(1)=0,而f(7)≠0,故f(-3)≠0.　

故函數y=f(x)是非奇非偶函數.　

(2)由(1)知y=f(x)的周期為10.又f(3)=f(1)=0,f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,　

故f(x)在［0，10］和［-10，0］上均有兩個解，從而可知函數y=f(x)在［0，2 005］上有402個解，在［-2 005，0］上有400個解，所以函數y=f(x)在［-2 005，2 005］上有802個解.

§2.4 指數與指數函數

基礎自測

11.已知函數f(x)=x²+|x-a|+1,a∈R.　

(1)試判斷f(x)的奇偶性；　

(2)若-≤a≤，求f(x)的最小值.

解 　(1)當a=0時，函數f(-x)=(-x)²+|-x|+1=f(x),　

此時,f(x)為偶函數.當a≠0時，f(a)=a²+1,f(-a)=a²+2|a|+1,　

f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此時，f(x) 為非奇非偶函數.　

(2)當x≤a時,f(x)=x²-x+a+1=(x-)²+a+,　

∵a≤,故函數f(x)在(-∞，a］上單調遞減，　

從而函數f(x)在(-∞，a］上的最小值為f(a)=a²+1.　

當x≥a時，函數f(x)=x²+x-a+1=(x+)²-a+,　

∵a≥-，故函數f(x)在［a，+∞)上單調遞增，從而函數f(x)在［a，+∞)上的最小值為f(a)=a²+1.　

綜上得，當-≤a≤時，函數f(x)的最小值為a²+1.　

10.已知f(x)是R上的奇函數，且當x∈(-∞,0)時，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.　

解　 ∵f(x)是奇函數，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.　

當x>0時，-x<0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f(x)=xlg(2+x)，　

即f(x)=-xlg(2+x)(x>0).∴f(x)=

即f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R).