1. 已知x1 >= x2 >= ... >= xn, 以及y1 >= y2 >= ... >= yn 都是實(shí)數(shù)，求證 若z1 ,z2 ,...,zn 是yi 的任意排列則有
∑(xi-yi)2 <= ∑(xi-zi)2
上式中左右兩邊的求和都是i從1到n。
2. 令a1 < a2 < a3 < ... 是一遞增正整數(shù)序列，求證對(duì)所有i>=1，存在無(wú)窮多個(gè) an 可以寫成 an = rai + saj的形式，其中r，s是正實(shí)數(shù)且j > i。
3. 任意三角形ABC的邊上，向外作三角形ABR,BCP，CAQ，使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都是30度，角ABR、角BAR都是15度。求證角QRP是直角并且QR=RP。
4. 令A(yù)是將44444444寫成十進(jìn)制數(shù)字時(shí)的各位數(shù)字之和，令B時(shí)A的各位數(shù)字之和，求B的各位數(shù)字之和。
5. 判定并證明能否在單位圓上找到1975個(gè)點(diǎn)使得任意兩點(diǎn)間的距離為有理數(shù)。
6. 找出所有兩個(gè)變量的多項(xiàng)式P(x, y)使其滿足：
P(y + z, x) + P(z + x, y) + P(x + y, z) = 0;
1. 三個(gè)玩家玩游戲。在三張撲克牌上分別寫上一個(gè)正整數(shù)，并且每張牌上的數(shù)都不相同。在每一輪游戲中都是隨機(jī)的把卡片分給這些玩家，然后每個(gè)玩家拿到所分得卡片上數(shù)目的籌碼。當(dāng)游戲進(jìn)行時(shí)，玩家手上的籌碼自然是越來(lái)越多。假設(shè)游戲至少進(jìn)行了兩輪以上。在最后一輪結(jié)束時(shí)，第一個(gè)玩家有籌碼20個(gè)，第二個(gè)玩家有10個(gè)，第三個(gè)玩家有9個(gè)。又已知在最后一輪游戲中第三個(gè)玩家拿到的是最大數(shù)目的籌碼。試問(wèn)，在第一輪游戲中哪個(gè)玩家收到了中間數(shù)量的籌碼？
2. 三角形ABC，求證在邊AB上存在一點(diǎn)D使得CD是AD、DB的幾何平均值的充要條件是
sin A sin B <= sin2(C/2).
3. 試證明對(duì)任意非負(fù)整數(shù)n，下式都不能被5整除：
∑ C(2n+1,2k+1)23k，
上式中的求和是k從0到n，符號(hào) C(r,s) 表示二項(xiàng)式系數(shù) r!/(s!(r-s)!)。
4. 沿著一個(gè) 8 x 8 象棋盤（黑白相間）中的線將其分割成p個(gè)不相交的長(zhǎng)方形，使得每個(gè)長(zhǎng)方形內(nèi)的黑白小方格的數(shù)目一樣，并且每個(gè)長(zhǎng)方形中小方格的數(shù)量也都不一樣多。求出所有可能p值中的最大值；并對(duì)這樣的最大值求出所有可能的分法（即求出那些長(zhǎng)方形的大小）。
5. a,b,c,d是任意實(shí)數(shù)，判定下式的所有可能值：
a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d)。
6. 設(shè) P(x) 是一個(gè)指數(shù)d>0的整系數(shù)多項(xiàng)式，n是P(X)=1或-1的不同整根的個(gè)數(shù)，則有
n <= d + 2.
1. OP1, OP2, ... , OP2n+1 是平面上的單位向量，其中點(diǎn) P1, P2, ... , P2n+1 都是位于通過(guò)點(diǎn)O的一條直線的同一側(cè)，求證
|OP1 + ... + OP2n+1| >= 1.
2. 問(wèn)能否在空間中找到一個(gè)不共面的有限點(diǎn)集M使得，對(duì)M中的任何兩點(diǎn)A、B，都可以再在M中尋找到兩點(diǎn)C、D，而直線AB、CD是不相同的并且是互相平行的。
3. 考慮所有這樣的實(shí)數(shù)a、b使得方程
x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0
至少有一個(gè)實(shí)根。試找出 a2 + b2 的最小值。
4. 一個(gè)士兵需要在一個(gè)等邊三角形的區(qū)域內(nèi)探測(cè)有沒(méi)有地雷，他的掃雷器的半徑是三角形高的一半，士兵從三角形的一個(gè)定點(diǎn)出發(fā)，試問(wèn)如果要完成任務(wù)且使行程最短他應(yīng)該走什么樣的路徑？
5. G是具有下述形式且非常值的函數(shù)的集合：
f(x) = ax + b，其中a,b,x都是實(shí)數(shù)。
并且已知G具有這些性質(zhì)：
? 如果f,g都屬于G，則 fg(x) = f(g(x)) 也屬于G；
? 如果f屬于G，則 f-1(x) = x/a - b/a 也屬于G；
? 對(duì)任何f屬于G，存在一個(gè)實(shí)數(shù) xf 使得 f(xf) = xf成立。
求證：存在實(shí)數(shù) M 使得 f(M)=M對(duì)所有G中的函數(shù)f都成立。
6. a1, a2, ... , an 是正實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù) q 滿足0 < q < 1，試求出n格實(shí)數(shù) b1, b2, ... , bn 使得：
1.有十個(gè)互不相同的二位數(shù)，求證必可從中選出兩個(gè)不相交的子集，使得這兩個(gè)子集中的元素之和相等。
2. 設(shè) n>4， 求證每一個(gè)圓內(nèi)接四邊形都可以分割成 n 個(gè)圓內(nèi)接四邊形。
3. m,n是任意非負(fù)整數(shù)，求證下式是一整數(shù)。
(2m)!(2n)!
m!n!(m+n)!
4. 試找出下述方程組的所有正實(shí)數(shù)解：
(x12 - x3x5)(x22
- x3x5) <= 0
(x22 - x4x1)(x32
- x4x1) <= 0
(x32 - x5x2)(x42
- x5x2) <= 0
(x42 - x1x3)(x52
- x1x3) <= 0
(x52 - x2x4)(x12
- x2x4) <= 0
5. f、g都是定義在實(shí)數(shù)上并取值實(shí)數(shù)的函數(shù)，并且滿足方程
f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)g(y)，
又已知 f 不恒等于0且 |f(x)| <= 1 。求證對(duì)所有x同樣有 |g(x)| <= 1 。
6. 給定四個(gè)不相同的平行平面，求證存在一個(gè)正四面體，它的四個(gè)定點(diǎn)分別在這四個(gè)平面上。
1. 令 En = (a1 - a2)(a1 - a3) ... (a1 - an) + (a2 - a1)(a2 - a3) ... (a2 - an) + ... + (an - a1)(an - a2) ... (an - an-1). 求證 En >= 0 對(duì)于n=3或5成立，而對(duì)于其他自然數(shù)n>2不成立。
2. 凸多邊形 P1 的頂點(diǎn)是 A1, A2, ... , A9，若將頂點(diǎn) A1 平移至Ai 時(shí)則 P1 平移成了多邊形 Pi ，求證 P1, P2, ... , P9 之中至少有兩個(gè)具有一共同內(nèi)點(diǎn)。
3. 求證能夠找到一個(gè)由形式 2n - 3 （n是正整數(shù)）的整數(shù)構(gòu)成的集合并滿足任何兩個(gè)元素互質(zhì)。
4. 四面體ABCD的所有面都是銳角三角形，在線段AB上取一內(nèi)點(diǎn)X，現(xiàn)在BC上取內(nèi)點(diǎn)Y，CD上取內(nèi)點(diǎn)Z，AD上內(nèi)點(diǎn)T。求證：
5. 對(duì)任何自然數(shù) m ，求證存在平面上一有限點(diǎn)集 S，滿足：對(duì)S中的每一個(gè)點(diǎn) A，存在S中的恰好 m 個(gè)點(diǎn)與 A的距離為單位長(zhǎng)。
6. 設(shè) A = (aij),其中 i, j = 1, 2, ... , n，是一個(gè)方陣，元素 aij 都是非負(fù)整數(shù)。若 i、j使得aij = 0，則第i行和第j列的元素之和 大于或等于 n。求證：該方陣中所有元素之和 大于或等于n2/2。
1. M 是三角形ABC的邊AB上的任何一點(diǎn)，r、r1、r2 分別是三角形ABC、AMC、BMC的內(nèi)切圓的半徑，q 是AB外旁切圓的半徑（即與AB邊相切，與CA、CB的延長(zhǎng)線上相切的圓），類似的， q1、q2分別是AC、BC外旁切圓的圓心。求證： r1r2q = rq1q2。
2. 已知0 ≤ xi < b，i = 0, 1, ... ,n 并且 xn > 0, xn-1 > 0。如果 a>b，xnxn-1...x0 是數(shù)A在a進(jìn)制下的表示、也是B在b進(jìn)制下的表示，則 xn-1xn-2...x0 表示了 A'在a進(jìn)制下的表示、B'在b進(jìn)制下的表示。求證：A'B<AB'。
3. 實(shí)數(shù) a0, a1, a2, ...滿足 1 = a0 <= a1 <= a2 <= ...，并定義
bn =∑(1 - ak-1/ak)/√ak
其中求和是k從1到n。
4. 試找出所有的正整數(shù) n 使得集合 {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} 可被分拆成兩個(gè)子集合，每個(gè)子集合的元素的乘積相等。
5. 四面體ABCD，角BDC是直角，D向平面ABC作垂線的垂足恰好是三角形ABC的垂心。求證：
(AB + BC + CA)2 ≤ 6(AD2 + BD2 + CD2).
并問(wèn)何時(shí)等號(hào)成立？
6. 平面上給定100個(gè)點(diǎn)，無(wú)三點(diǎn)共線，求證：這些點(diǎn)構(gòu)成的三角形中至多70% 是銳角三角形。
1. 對(duì)任意正整數(shù) n，求證有無(wú)窮多個(gè)正整數(shù) m 使得 n4 + m 不是質(zhì)數(shù)。
2. 令 f(x) = cos(a1 + x) + 1/2 cos(a2 + x) + 1/4 cos(a3 + x) + ... + 1/2n-1 cos(an + x), 其中 ai 是實(shí)數(shù)常量，x是實(shí)數(shù)變量�，F(xiàn)已知 f(x1) = f(x2) = 0，求證 x1 - x2 是 π 的整數(shù)倍。
3. 對(duì)每一個(gè)k = 1, 2, 3, 4, 5，試找出 a>0 應(yīng)滿足的充要條件使得存在一個(gè)四面體，其中 k個(gè)邊長(zhǎng)均為 a，其余 6-k個(gè)邊的長(zhǎng)度均為 1。
4. 以AB為直徑的半圓弧，C是其上不同于A、B的一點(diǎn)，D是C向AB作垂線的垂足。K1 是三角形ABC的內(nèi)切圓， 圓K2 與CD、DA以及半圓都相切，圓K3 與CD、DB及半圓相切。求證：圓K1、 K2 、 K3 除AB外還有一條公切線。
5. 平面上已給定了 n>4個(gè)點(diǎn)，無(wú)三點(diǎn)共線。求證至少有 (n-3)(n-4)/2 個(gè)凸四邊形，其頂點(diǎn)都是已給點(diǎn)集中的點(diǎn)。
6. 給定實(shí)數(shù)x1, x2, y1, y2, z1, z2, 滿足 x1 > 0, x2 > 0, x1y1 > z12, x2y2 > z22，求證：
8
≤
1
+
1
(x1 + x2)(y1 + y2) - (z1 + z2)2
x1y1 - z12
x2y2 - z22
并給出等號(hào)成立的充分必要條件。
1. 求證有且僅有一個(gè)三角形，它的邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)，有一個(gè)角是另外一個(gè)角的兩倍。
2. 試找出所有的正整數(shù) n，其各位數(shù)的乘積等于 n2 - 10n - 22。
3. a, b, c 是不全為0的實(shí)數(shù)。x1, x2, ... , xn 是滿足下述方程組的未知數(shù)：
axi2 + bxi + c = xi+1, 對(duì)于 i=1,2,...,n-1；
axn2 + bxn + c = x1；
若設(shè) M= (b - 1)2 - 4ac ，求證：
4. 求證任何四面體上都有一個(gè)頂點(diǎn)使得經(jīng)過(guò)該頂點(diǎn)的三條邊可構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊。
5. 令f是定義在所有實(shí)數(shù)并取值實(shí)數(shù)的函數(shù)，并且對(duì)于某個(gè) a>0及任何 x>0 有
f(x + a) = 1/2 +√[f(x)-f(x)2]
求證 f 是周期函數(shù)，并且當(dāng) a=1時(shí)請(qǐng)給出一個(gè)非常值函數(shù)的例子。
6. 對(duì)任何自然數(shù) n，試計(jì)算下式的值
[(n+1)/2] + [(n+2)/4] + [(n+4)/8] + ... + [(n+2k)/2k+1] + ...
其中[x]表示不超過(guò) x 的最大整數(shù)。
2005 International Mathematical Olympiad
第一天(4.5小時(shí))
1. 等邊三角形ABC各邊上的六個(gè)點(diǎn)A1,A2(∈BC),B1,B2(∈CA),C1,C2(∈AB)構(gòu)成六邊長(zhǎng)相等的凸六邊形A1A2B1B2C1C2.
求證:三條直線A1B2,B1C2,C1A2交于一點(diǎn).
2. 整數(shù)數(shù)列a1,a2,……中有無(wú)窮多個(gè)正項(xiàng)及無(wú)窮多個(gè)負(fù)項(xiàng).已知,對(duì)每個(gè)正整數(shù)n,數(shù)a1,a2,…,an除以n所得到的余數(shù)互不相同.
證明:每個(gè)整數(shù)在數(shù)列a1,a2,……中都出現(xiàn)且只出現(xiàn)一次.
3. x,y,z為正數(shù)且xyz≥1.求證:
(x5-x2)/(x5+y2+z2)+(y5-y2)/(y5+z2+x2)+(z5-z2)/(z5+x2+y2)≥0.
第二天(4.5小時(shí))
4.試求與無(wú)窮數(shù)列an=2n+3n+6n－1(n≥1)的一切項(xiàng)均互素的所有正整數(shù).
5.取定凸四邊形ABCD,其中BC=DA,BC與DA不平行.動(dòng)點(diǎn)E,F分別在線段BC,DA上且滿足BE=DF.直線AC與BD交于P, BD與EF交于Q, EF與AC交于R.求證:當(dāng)E,F變動(dòng)時(shí),所有三角形PQR的外接圓周除了P外還有一個(gè)公共點(diǎn).
6.一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共給出6道題.已知,每?jī)深}均被多于2/5的選手同時(shí)解出,但無(wú)一人解出所有6道題.證明:至少有兩人各解出5道題.
2004IMO(中文版)
1. △ABC 為銳角三角形，AB ≠ AC；以BC為直徑的圓分別交AB和AC于M 和N . 記BC中點(diǎn)為
O. ∠BAC和∠MON的角平分線交于R. 求證△BMR的外接圓和△CNR的外接圓有一個(gè)公共點(diǎn)在
BC邊上.
2. 求所有的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f，使得對(duì)所有滿足 ab + bc + ca = 0的實(shí)數(shù)a, b, c 有
f(a?b) + f(b?c) + f(c?a) = 2f(a + b + c).
3. 定義一個(gè)由6個(gè)單位正方形構(gòu)成的“鉤”（圖傳不上：3 X 3 的去掉中心塊和一邊上連
續(xù)的兩塊，包括由此圖經(jīng)旋轉(zhuǎn)、反射得到的圖形）. 定出所有的能被鉤覆蓋的m×n的矩形
.
4. 設(shè)n >= 3. t_1, t_2, ..., t_n > 0 滿足
n^2 + 1 > (t_1 + t_2 + ... + t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n)
證明t_1, t_2, ..., t_n中隨便取3個(gè)數(shù)都能構(gòu)成一個(gè)三角
5. 凸四邊形ABCD的對(duì)角線BD 不平分∠ABC和∠CDA. ABCD內(nèi)一點(diǎn)P滿足∠PBC = ∠DBA和∠
PDC = ∠BDA. 求證：ABCD是圓的內(nèi)接四邊形當(dāng)且僅當(dāng)AP = CP.
6. 稱一個(gè)正整數(shù)為“交替的”，如果它的十進(jìn)表示的任兩個(gè)連續(xù)數(shù)位的奇偶性不同. 求所
有的正整數(shù)n，n的某個(gè)倍數(shù)是交替的.
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