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2004IMO(中文版)

1. △ABC 為銳角三角形，AB ≠ AC；以BC為直徑的圓分別交AB和AC于M 和N . 記BC中點為

O. ∠BAC和∠MON的角平分線交于R. 求證△BMR的外接圓和△CNR的外接圓有一個公共點在

BC邊上.

2. 求所有的實系數多項式f，使得對所有滿足 ab + bc + ca = 0的實數a, b, c 有

f(a?b) + f(b?c) + f(c?a) = 2f(a + b + c).

3. 定義一個由6個單位正方形構成的“鉤”（圖傳不上：3 X 3 的去掉中心塊和一邊上連

續的兩塊，包括由此圖經旋轉、反射得到的圖形）. 定出所有的能被鉤覆蓋的m×n的矩形

.

4. 設n >= 3. t_1, t_2, ..., t_n > 0 滿足

n^2 + 1 > (t_1 + t_2 + ... + t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n)

證明t_1, t_2, ..., t_n中隨便取3個數都能構成一個三角

5. 凸四邊形ABCD的對角線BD 不平分∠ABC和∠CDA. ABCD內一點P滿足∠PBC = ∠DBA和∠

PDC = ∠BDA. 求證：ABCD是圓的內接四邊形當且僅當AP = CP.

6. 稱一個正整數為“交替的”，如果它的十進表示的任兩個連續數位的奇偶性不同. 求所

有的正整數n，n的某個倍數是交替的.