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四川師大附中高2006屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（十四）實(shí)驗修訂版

§14. 復(fù) 數(shù)  知識要點(diǎn)

1. ⑴復(fù)數(shù)的單位為i，它的平方等于－1，即.

⑵復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念：

①      復(fù)數(shù)―形如a + bi的數(shù)（其中）；

②      實(shí)數(shù)―當(dāng)b = 0時的復(fù)數(shù)a + bi，即a；

③      虛數(shù)―當(dāng)時的復(fù)數(shù)a + bi；

④      純虛數(shù)―當(dāng)a = 0且時的復(fù)數(shù)a + bi，即bi.

⑤      復(fù)數(shù)a + bi的實(shí)部與虛部―a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部（注意a，b都是實(shí)數(shù)）

⑥      復(fù)數(shù)集C―全體復(fù)數(shù)的集合，一般用字母C表示.

⑶兩個復(fù)數(shù)相等的定義：

.

⑷兩個復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小.

注：①若為復(fù)數(shù)，則若，則.（×）[為復(fù)數(shù)，而不是實(shí)數(shù)]

若，則.（√）

②若，則是的必要不充分條件.（當(dāng)，

時，上式成立）

2. ⑴復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：.

其中是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)，間的距離.

由上可得：復(fù)平面內(nèi)以為圓心，為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程：.

⑵曲線方程的復(fù)數(shù)形式：

①為圓心，r為半徑的圓的方程.

②表示線段的垂直平分線的方程.

③為焦點(diǎn)，長半軸長為a的橢圓的方程（若，此方程表示線段）.

④表示以為焦點(diǎn)，實(shí)半軸長為a的雙曲線方程（若，此方程表示兩條射線）.

⑶絕對值不等式：

設(shè)是不等于零的復(fù)數(shù)，則

①.

左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.

②.

左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.

注：.

3. 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：

，（a + bi）              

（）                              

注：兩個共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù). （×）[之差可能為零，此時兩個復(fù)數(shù)是相等的]

4. ⑴①復(fù)數(shù)的乘方：

②對任何，及有

③ 

注：①以上結(jié)論不能拓展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，否則會得到荒謬的結(jié)果，如若由就會得到的錯誤結(jié)論.

②在實(shí)數(shù)集成立的. 當(dāng)為虛數(shù)時，，所以復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程不能采用兩邊平方法.

⑵常用的結(jié)論：

若是1的立方虛數(shù)根，即，則                                                  .

5.  ⑴復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)及純虛數(shù)的充要條件：

①.

②若，是純虛數(shù).

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點(diǎn)在哪里，都認(rèn)為是相等的，而相等的向量表示同一復(fù)數(shù). 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.

注：.

6. ⑴復(fù)數(shù)的三角形式：.

輻角主值：適合于0≤＜的值，記作.

注：①為零時，可取內(nèi)任意值.

②輻角是多值的，都相差2的整數(shù)倍.

③設(shè)則.

⑵復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化：

，，.

⑶幾類三角式的標(biāo)準(zhǔn)形式：

7. 復(fù)數(shù)集中解一元二次方程：

在復(fù)數(shù)集內(nèi)解關(guān)于的一元二次方程時，應(yīng)注意下述問題：

①當(dāng)時，若＞0，則有二不等實(shí)數(shù)根；若=0，則有二相等實(shí)數(shù)根；若＜0，則有二相等復(fù)數(shù)根（為共軛復(fù)數(shù)）.

②當(dāng)不全為實(shí)數(shù)時，不能用方程根的情況.

③不論為何復(fù)數(shù)，都可用求根公式求根，并且韋達(dá)定理也成立.

8. 復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算：

棣莫弗定理：.

試題詳情

四川師大附中高2006屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（十三）實(shí)驗修訂版

§13. 導(dǎo) 數(shù)  知識要點(diǎn)

1. 導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）的定義：設(shè)是函數(shù)定義域的一點(diǎn)，如果自變量在處有增量，則函數(shù)值也引起相應(yīng)的增量；比值稱為函數(shù)在點(diǎn)到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并把這個極限叫做在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即=.

注：①是增量，我們也稱為“改變量”，因為可正，可負(fù)，但不為零.

②以知函數(shù)定義域為，的定義域為，則與關(guān)系為.

2. 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)與點(diǎn)處可導(dǎo)的關(guān)系：

⑴函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是在點(diǎn)處可導(dǎo)的必要不充分條件.

可以證明，如果在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么點(diǎn)處連續(xù).

事實(shí)上，令，則相當(dāng)于.

于是

⑵如果點(diǎn)處連續(xù)，那么在點(diǎn)處可導(dǎo)，是不成立的.

例：在點(diǎn)處連續(xù)，但在點(diǎn)處不可導(dǎo)，因為，當(dāng)＞0時，；當(dāng)＜0時，，故不存在.

注：①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).

②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).

3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，也就是說，曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率是，切線方程為

4. 求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

（為常數(shù)）

注：①必須是可導(dǎo)函數(shù).

②若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).

例如：設(shè)，，則在處均不可導(dǎo)，但它們和

在處均可導(dǎo).

5. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：或

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個中間變量的情形.

6. 函數(shù)單調(diào)性：

⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果＞0，則為增函數(shù)；如果＜0，則為減函數(shù).

⑵常數(shù)的判定方法；

如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有=0，則為常數(shù).

注：①是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有，有一個點(diǎn)例外即x=0時f（x） = 0，同樣是f（x）遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.

7. 極值的判別方法：（極值是在附近所有的點(diǎn)，都有＜，則是函數(shù)的極大值，極小值同理）

當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時，

①如果在附近的左側(cè)＞0，右側(cè)＜0，那么是極大值；

②如果在附近的左側(cè)＜0，右側(cè)＞0，那么是極小值.

也就是說是極值點(diǎn)的充分條件是點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是=0^①. 此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)^②. 當(dāng)然，極值是一個局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值小（函數(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）.

注①： 若點(diǎn)是可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)，則=0. 但反過來不一定成立. 對于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.

例如：函數(shù)，使=0，但不是極值點(diǎn).

②例如：函數(shù)，在點(diǎn)處不可導(dǎo)，但點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn).

8. 極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進(jìn)行比較.

注：函數(shù)的極值點(diǎn)一定有意義.

9. 幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

I.（為常數(shù)）                      

（）                   

II.                             

III. 求導(dǎo)的常見方法：

①常用結(jié)論：.

②形如或兩邊同取自然對數(shù)，可轉(zhuǎn)化求代數(shù)和形式.

③無理函數(shù)或形如這類函數(shù)，如取自然對數(shù)之后可變形為，對兩邊求導(dǎo)可得.

試題詳情

四川師大附中高2006屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（十二）

§12. 極 限  知識要點(diǎn)

1. ⑴第一數(shù)學(xué)歸納法：①證明當(dāng)取第一個時結(jié)論正確；②假設(shè)當(dāng)（）時，結(jié)論正確，證明當(dāng)時，結(jié)論成立.

⑵第二數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

①當(dāng)（）時，成立；

②假設(shè)當(dāng)（）時，成立，推得時，也成立.

那么，根據(jù)①②對一切自然數(shù)時，都成立.

2. ⑴數(shù)列極限的表示方法：

①

②當(dāng)時，.

⑵幾個常用極限：

①（為常數(shù)）

②

③對于任意實(shí)常數(shù)，

當(dāng)時，

當(dāng)時，若a = 1，則；若，則不存在

當(dāng)時，不存在

⑶數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：

如果，那么

①

②

③

特別地，如果C是常數(shù)，那么

.

⑷數(shù)列極限的應(yīng)用：

求無窮數(shù)列的各項和，特別地，當(dāng)時，無窮等比數(shù)列的各項和為.

（化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)方法同上式）

注：并不是每一個無窮數(shù)列都有極限.

3. 函數(shù)極限；

⑴當(dāng)自變量無限趨近于常數(shù)（但不等于）時，如果函數(shù)無限趨進(jìn)于一個常數(shù)，就是說當(dāng)趨近于時，函數(shù)的極限為.記作或當(dāng)時，.

注：當(dāng)時，是否存在極限與在處是否定義無關(guān)，因為并不要求.（當(dāng)然，在是否有定義也與在處是否存在極限無關(guān).函數(shù)在有定義是存在的既不充分又不必要條件.）

如在處無定義，但存在，因為在處左右極限均等于零.

⑵函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則：

如果，那么

①

②

③

特別地，如果C是常數(shù)，那么

.

（）

注：①各個函數(shù)的極限都應(yīng)存在.

②四則運(yùn)算法則可推廣到任意有限個極限的情況，但不能推廣到無限個情況.

⑶幾個常用極限：

①

②（0＜＜1）；（＞1）

③

④，（）

4. 函數(shù)的連續(xù)性：

⑴如果函數(shù)f（x），g（x）在某一點(diǎn)連續(xù)，那么函數(shù)在點(diǎn)處都連續(xù).

⑵函數(shù)f（x）在點(diǎn)處連續(xù)必須滿足三個條件：

①函數(shù)f（x）在點(diǎn)處有定義；②存在；③函數(shù)f（x）在點(diǎn)處的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，即.

⑶函數(shù)f（x）在點(diǎn)處不連續(xù)（間斷）的判定：

如果函數(shù)f（x）在點(diǎn)處有下列三種情況之一時，則稱為函數(shù)f（x）的不連續(xù)點(diǎn).

①f（x）在點(diǎn)處沒有定義，即不存在；②不存在；③存在，但.

5. 零點(diǎn)定理，介值定理，夾逼定理：

⑴零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且.那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)（＜＜）使.

⑵介值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同函數(shù)值，，那么對于之間任意的一個數(shù)，在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得（＜＜）.

⑶夾逼定理：設(shè)當(dāng)時，有≤≤，且，則必有

注：：表示以為的極限，則就無限趨近于零.（為最小整數(shù)）

6. 幾個常用極限：

①

②

③為常數(shù)）

④

⑤為常數(shù)）

試題詳情

高考復(fù)習(xí)科目：數(shù)學(xué)      高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(十一) 

復(fù)習(xí)內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)第十一章-概率 第十二章-概率與統(tǒng)計

復(fù)習(xí)范圍：第十一章、第十二章

編寫時間：2005-5

修訂時間：總計第三次 2005-6

                                   I. 基礎(chǔ)知識要點(diǎn)           

一、概率.

1. 概率：隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.

2. 等可能事件的概率：如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有年n個，且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么，每一個基本事件的概率都是，如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率.

3. ①互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：.

②對立事件：兩個事件必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件. 例如：從1～52張撲克牌中任取一張抽到“紅桃”與抽到“黑桃”互為互斥事件，因為其中一個不可能同時發(fā)生，但又不能保證其中一個必然發(fā)生，故不是對立事件.而抽到“紅色牌”與抽到黑色牌“互為對立事件，因為其中一個必發(fā)生.

注意：i.對立事件的概率和等于1：.

ii.互為對立的兩個事件一定互斥，但互斥不一定是對立事件.

③相互獨(dú)立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個事件叫做相互獨(dú)立事件. 如果兩個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A?B)=P(A)?P(B). 由此，當(dāng)兩個事件同時發(fā)生的概率P（AB）等于這兩個事件發(fā)生概率之和，這時我們也可稱這兩個事件為獨(dú)立事件.例如：從一副撲克牌（52張）中任抽一張設(shè)A：“抽到老K”；B：“抽到紅牌”則 A應(yīng)與B互為獨(dú)立事件[看上去A與B有關(guān)系很有可能不是獨(dú)立事件，但.又事件AB表示“既抽到老K對抽到紅牌”即“抽到紅桃老K或方塊老K”有，因此有.

推廣：若事件相互獨(dú)立，則.

注意：i. 一般地，如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A 與與B，與也都相互獨(dú)立.

ii. 必然事件與任何事件都是相互獨(dú)立的.

iii. 獨(dú)立事件是對任意多個事件來講，而互斥事件是對同一實(shí)驗來講的多個事件，且這多個事件不能同時發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨(dú)立事件.

④獨(dú)立重復(fù)試驗：若n次重復(fù)試驗中，每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果，則稱這n次試驗是獨(dú)立的. 如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率：.

4. 對任何兩個事件都有

二、隨機(jī)變量.

1. 隨機(jī)試驗的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：

①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.

它就被稱為一個隨機(jī)試驗.

2. 離散型隨機(jī)變量：如果對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.若ξ是一個隨機(jī)變量，a，b是常數(shù).則也是一個隨機(jī)變量.一般地，若ξ是隨機(jī)變量，是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則也是隨機(jī)變量.也就是說，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量.

設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為：

ξ取每一個值的概率，則表稱為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列.

…

…

P

…

…

有性質(zhì)①；  ②.

注意：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.例如：即可以取0～5之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).

3. ⑴二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是：[其中] 

于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項分布，記作～B（n?p），其中n，p為參數(shù)，并記.

⑵二項分布的判斷與應(yīng)用.

①二項分布，實(shí)際是對n次獨(dú)立重復(fù)試驗.關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)，且每次試驗只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項分布.

②當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結(jié)果，此時可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗，利用二項分布求其分布列.

4. 幾何分布：“”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗時，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗時事件A發(fā)生記為，事A不發(fā)生記為，那么.根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法分式：于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布列.

1

2

3

…

k

…

P

q

qp

…

…

我們稱ξ服從幾何分布，并記，其中

5. ⑴超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，則其中的次品數(shù)ξ是一離散型隨機(jī)變量，分布列為.〔分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定＜時，則k的范圍可以寫為k=0，1，…，n.〕

⑵超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由 a件次品、b件正品組成，今抽取n件（1≤n≤a+b），則次品數(shù)ξ的分布列為.

⑶超幾何分布與二項分布的關(guān)系.

設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數(shù)ξ服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)的分布列可如下求得：把個產(chǎn)品編號，則抽取n次共有個可能結(jié)果，等可能：含個結(jié)果，故，即～.[我們先為k個次品選定位置，共種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法] 可以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時，，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.

試題詳情

高考復(fù)習(xí)科目：數(shù)學(xué)      高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（九） 

復(fù)習(xí)內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)第十章-排列組合

復(fù)習(xí)范圍：第十章

編寫時間：2004-7

修訂時間：總計第三次 2005-4

一、兩個原理.

1. 乘法原理、加法原理.

2. 可以有重復(fù)元素的排列.

試題詳情

高考復(fù)習(xí)科目：數(shù)學(xué)      高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（九） 

復(fù)習(xí)內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)第九章-立體幾何

復(fù)習(xí)范圍：第九章

編寫時間：2004-7

修訂時間：總計第三次 2005-4

                                   I. 基礎(chǔ)知識要點(diǎn)           

一、 平面.

1. 經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個面.

注：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).

2. 兩個平面可將平面分成3或4部分.（①兩個平面平行，②兩個平面相交）

3. 過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.（①三條直線在一個平面內(nèi)平行，②三條直線不在一個平面內(nèi)平行）

[注]：三條直線可以確定三個平面，三條直線的公共點(diǎn)有0或1個.

4. 三個平面最多可把空間分成 8 部分.（X、Y、Z三個方向）

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高考復(fù)習(xí)科目：數(shù)學(xué)      高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（八） 

復(fù)習(xí)內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)第八章-圓錐曲線方程

復(fù)習(xí)范圍：第八章

編寫時間：2004-7

修訂時間：總計第三次 2005-4

I. 基礎(chǔ)知識要點(diǎn)

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四川師大附中高2006屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（七）實(shí)驗修訂版

§7. 直線和圓的方程  知識要點(diǎn)

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四川師大附中高2006屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（六）

§6. 不 等 式  知識要點(diǎn)

1. ⑴平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：

（當(dāng)a = b時取等）

特別地，（當(dāng)a = b時，）

冪平均不等式：

⑵含立方的幾個重要不等式（a、b、c為正數(shù)）：

①

②

（，）；

（）

⑶絕對值不等式：

⑷算術(shù)平均≥幾何平均（a₁、a₂…a_n為正數(shù)）：（a₁=a₂…=a_n時取等）

⑸柯西不等式：設(shè)則

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)時成立.（約定時，）

例如：.

⑹常用不等式的放縮法：①

②

2. 常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：

①       

②

類似于

③

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高考復(fù)習(xí)科目：數(shù)學(xué)      高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（五） 

復(fù)習(xí)內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)第五章-平面向量

復(fù)習(xí)范圍：第五章

編寫時間：2004-7

修訂時間：總計第三次 2005-4

1. 長度相等且方向相同的兩個向量是相等的量.

注意：①若為單位向量，則. （） 單位向量只表示向量的模為1，并未指明向量的方向.

②若，則∥. （√）

2. ①=      ②      ③

④設(shè)     

        （向量的模，針對向量坐標(biāo)求模） 

⑤平面向量的數(shù)量積：    ⑥     ⑦

⑧

注意：①不一定成立；.

②向量無大小（“大于”、“小于”對向量無意義），向量的模有大小.

③長度為0的向量叫零向量，記，與任意向量平行，的方向是任意的，零向量與零向量相等，且.

④若有一個三角形ABC，則⁰；此結(jié)論可推廣到邊形.

⑤若（），則有. （） 當(dāng)等于時，，而不一定相等.

⑥?=，=（針對向量非坐標(biāo)求模），≤.

⑦當(dāng)時，由不能推出，這是因為任一與垂直的非零向量，都有?=0.

⑧若∥，∥，則∥（×）當(dāng)等于時，不成立.

3. ①向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù)，使得（平行向量或共線向量）.

當(dāng)與共線同向：當(dāng)與共線反向；當(dāng)則為與任何向量共線.

注意：若共線，則  （×）

若是的投影，夾角為，則，  （√）

②設(shè)=，

∥    

⊥

③設(shè)，則A、B、C三點(diǎn)共線∥=（）

（）=（）（）

（）?（）=（）?（）

④兩個向量、的夾角公式：

⑤線段的定比分點(diǎn)公式：（和）

設(shè) =（或=），且的坐標(biāo)分別是，則

推廣1：當(dāng)時，得線段的中點(diǎn)公式：

推廣2：則（對應(yīng)終點(diǎn)向量）.

三角形重心坐標(biāo)公式：△ABC的頂點(diǎn)，重心坐標(biāo)：

注意：在△ABC中，若0為重心，則，這是充要條件.

⑥平移公式：若點(diǎn)P按向量=平移到P^‘，則

4. ⑴正弦定理：設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，所對的角為A、B、C，則.

⑵余弦定理：

⑶正切定理：

⑷三角形面積計算公式：

設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，其高分別為h_a，h_b，h_c，半周長為P，外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R，r.

①S_△=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c                 ②S_△=Pr      ③S_△=abc/4R

④S_△=1/2sinC?ab=1/2ac?sinB=1/2cb?sinA   ⑤S_△=  [海倫公式]  

⑥S_△=1/2（b+c-a）r_a[如下圖]=1/2（b+a-c）r_c=1/2（a+c-b）r_b

[注]：到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)有4個，一個是內(nèi)心，其余3個是旁心.

如圖：                                           圖1中的I為S_△ABC的內(nèi)心， S_△=Pr

                                                 圖2中的I為S_△ABC的一個旁心，S_△=1/2（b+c-a）r_a

附：三角形的五個“心”；

重心：三角形三條中線交點(diǎn).

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).

內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).

垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).

旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點(diǎn).

⑸已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s為△ABC的半周長,即]

則：①AE==1/2（b+c-a）                                                

②BN==1/2（a+c-b）

③FC==1/2（a+b-c）

綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊（如圖4）.                                 

特例：已知在Rt△ABC，c為斜邊，則內(nèi)切圓半徑r=（如圖3）.           

⑹在△ABC中，有下列等式成立.

證明：因為所以，所以，結(jié)論！

⑺在△ABC中，D是BC上任意一點(diǎn)，則.

證明：在△ABCD中，由余弦定理，有①

在△ABC中，由余弦定理有②，②代入①，化簡

可得，（斯德瓦定理）

①若AD是BC上的中線，；

②若AD是∠A的平分線，，其中為半周長；

③若AD是BC上的高，，其中為半周長.

⑻△ABC的判定：

△ABC為直角△∠A + ∠B =

＜△ABC為鈍角△∠A + ∠B＜

＞△ABC為銳角△∠A + ∠B＞

附：證明：，得在鈍角△ABC中，

⑼平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和.

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