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1.  OP₁, OP₂, ... , OP_2n+1 是平面上的單位向量，其中點(diǎn) P₁, P₂, ... , P_2n+1 都是位于通過(guò)點(diǎn)O的一條直線的同一側(cè)，求證

|OP₁ + ... + OP_2n+1| >= 1.

2.  問(wèn)能否在空間中找到一個(gè)不共面的有限點(diǎn)集M使得，對(duì)M中的任何兩點(diǎn)A、B，都可以再在M中尋找到兩點(diǎn)C、D，而直線AB、CD是不相同的并且是互相平行的。

3.  考慮所有這樣的實(shí)數(shù)a、b使得方程

x⁴ + ax³ + bx² + ax + 1 = 0

至少有一個(gè)實(shí)根。試找出 a² + b² 的最小值。

4.  一個(gè)士兵需要在一個(gè)等邊三角形的區(qū)域內(nèi)探測(cè)有沒(méi)有地雷，他的掃雷器的半徑是三角形高的一半，士兵從三角形的一個(gè)定點(diǎn)出發(fā)，試問(wèn)如果要完成任務(wù)且使行程最短他應(yīng)該走什么樣的路徑？

5.  G是具有下述形式且非常值的函數(shù)的集合：

f(x) = ax + b，其中a,b,x都是實(shí)數(shù)。

并且已知G具有這些性質(zhì)：

?         如果f,g都屬于G，則 fg(x) = f(g(x)) 也屬于G；

?         如果f屬于G，則 f^-1(x) = x/a - b/a 也屬于G；

?         對(duì)任何f屬于G，存在一個(gè)實(shí)數(shù) x_f 使得 f(x_f) = x_f成立。

求證：存在實(shí)數(shù) M 使得 f(M)=M對(duì)所有G中的函數(shù)f都成立。

6.  a₁, a₂, ... , a_n 是正實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù) q 滿足0 < q < 1，試求出n格實(shí)數(shù) b₁, b₂, ... , b_n 使得：