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1.有十個互不相同的二位數，求證必可從中選出兩個不相交的子集，使得這兩個子集中的元素之和相等。

2. 設 n>4， 求證每一個圓內接四邊形都可以分割成 n 個圓內接四邊形。

3.  m,n是任意非負整數，求證下式是一整數。

(2m)!(2n)! 

m!n!(m+n)!

4.  試找出下述方程組的所有正實數解：

        (x₁² - x₃x₅)(x₂² - x₃x₅) <= 0
        (x₂² - x₄x₁)(x₃² - x₄x₁) <= 0
        (x₃² - x₅x₂)(x₄² - x₅x₂) <= 0
        (x₄² - x₁x₃)(x₅² - x₁x₃) <= 0
        (x₅² - x₂x₄)(x₁² - x₂x₄) <= 0

5.  f、g都是定義在實數上并取值實數的函數，并且滿足方程

f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)g(y)，

又已知 f 不恒等于0且 |f(x)| <= 1 。求證對所有x同樣有 |g(x)| <= 1 。

6.  給定四個不相同的平行平面，求證存在一個正四面體，它的四個定點分別在這四個平面上。