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高考復(fù)習(xí)科目：數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(十一)

復(fù)習(xí)內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)第十一章-概率第十二章-概率與統(tǒng)計(jì)

復(fù)習(xí)范圍：第十一章、第十二章

編寫時(shí)間：2005-5

修訂時(shí)間：總計(jì)第三次 2005-6

I. 基礎(chǔ)知識要點(diǎn)

一、概率.

1. 概率：隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.

2. 等可能事件的概率：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有年n個(gè)，且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么，每一個(gè)基本事件的概率都是，如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率.

3. ①互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：.

②對立事件：兩個(gè)事件必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫對立事件. 例如：從1～52張撲克牌中任取一張抽到“紅桃”與抽到“黑桃”互為互斥事件，因?yàn)槠渲幸粋€(gè)不可能同時(shí)發(fā)生，但又不能保證其中一個(gè)必然發(fā)生，故不是對立事件.而抽到“紅色牌”與抽到黑色牌“互為對立事件，因?yàn)槠渲幸粋€(gè)必發(fā)生.

注意：i.對立事件的概率和等于1：.

ii.互為對立的兩個(gè)事件一定互斥，但互斥不一定是對立事件.

③相互獨(dú)立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件. 如果兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A?B)=P(A)?P(B). 由此，當(dāng)兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率P（AB）等于這兩個(gè)事件發(fā)生概率之和，這時(shí)我們也可稱這兩個(gè)事件為獨(dú)立事件.例如：從一副撲克牌（52張）中任抽一張?jiān)O(shè)A：“抽到老K”；B：“抽到紅牌”則 A應(yīng)與B互為獨(dú)立事件[看上去A與B有關(guān)系很有可能不是獨(dú)立事件，但.又事件AB表示“既抽到老K對抽到紅牌”即“抽到紅桃老K或方塊老K”有，因此有.

推廣：若事件相互獨(dú)立，則.

注意：i. 一般地，如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A 與與B，與也都相互獨(dú)立.

ii. 必然事件與任何事件都是相互獨(dú)立的.

iii. 獨(dú)立事件是對任意多個(gè)事件來講，而互斥事件是對同一實(shí)驗(yàn)來講的多個(gè)事件，且這多個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨(dú)立事件.

④獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的. 如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率：.

4. 對任何兩個(gè)事件都有

二、隨機(jī)變量.

1. 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗(yàn)如果滿足下述條件：

①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.

它就被稱為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn).

2. 離散型隨機(jī)變量：如果對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.若ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b是常數(shù).則也是一個(gè)隨機(jī)變量.一般地，若ξ是隨機(jī)變量，是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則也是隨機(jī)變量.也就是說，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量.

設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為：

ξ取每一個(gè)值的概率，則表稱為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列.

…

有性質(zhì)①； ②.

注意：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.例如：即可以取0～5之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).

3. ⑴二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是：[其中]

于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，記作～B（n?p），其中n，p為參數(shù)，并記.

⑵二項(xiàng)分布的判斷與應(yīng)用.

①二項(xiàng)分布，實(shí)際是對n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)，且每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布.

②當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時(shí)又只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，此時(shí)可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求其分布列.

4. 幾何分布：“”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生記為，事A不發(fā)生記為，那么.根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法分式：于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布列.

…

我們稱ξ服從幾何分布，并記，其中

5. ⑴超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，則其中的次品數(shù)ξ是一離散型隨機(jī)變量，分布列為.〔分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定＜時(shí)，則k的范圍可以寫為k=0，1，…，n.〕

⑵超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由 a件次品、b件正品組成，今抽取n件（1≤n≤a+b），則次品數(shù)ξ的分布列為.

⑶超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系.

設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時(shí)，其中次品數(shù)ξ服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)的分布列可如下求得：把個(gè)產(chǎn)品編號，則抽取n次共有個(gè)可能結(jié)果，等可能：含個(gè)結(jié)果，故，即～.[我們先為k個(gè)次品選定位置，共種選法；然后每個(gè)次品位置有a種選法，每個(gè)正品位置有b種選法] 可以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個(gè)數(shù)不多時(shí)，，因此二項(xiàng)分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.

三、數(shù)學(xué)期望與方差.

1. 期望的含義：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為

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