2009年常德市高三年級畢業會考
文科數學（試題卷）
注意事項：
1．答題前,考生先將自己的姓名、準考證號、座位號等填寫清楚，并認真核對.
2．選擇題和非選擇均須在答題卡上作答，在本試題卷和草稿紙上作答無效。考生在答題卡上按如下要求答題：
（1）選擇題部分請按題號用2B鉛筆填涂方框，修改時用橡皮擦干凈，不留痕跡；
（2）非選擇題部分請按照題號用
（3）請勿折疊答題卡。保持字體工整，筆跡清楚、卡面清潔。
3.本試卷共 4頁。如缺頁，考生須及時報告監考老師，否則后果自負。
4.考試結束后，將本答題卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的.
1．設集合
，則下列關系中正確的是
（B）
A．M＝P B．
C．
D．
2．已知樣本容量為30，在如圖的樣本頻率分布直方圖中，各小長方形的高的比從左到右依次為2∶4∶3∶1，則第2組的頻率和頻數分別為（ A ）
C. 0.4, 16 D. 0.6, 12
3.已知條件
條件
直線
與圓
相切,則
是
的 ( A )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4．定義在R上的偶函數
滿足
，則可能是
（D）
A. 
B.
C. 
D.
5．在
內，使
成立的x的取值范圍為
（B）
A. 
B.
C. 
D. 
6．若
是兩個不重合的平面，
是兩條不重合的直線，現給出下列四個命題：
①若
，則
；②若
，則
；
③若
，則
；④若
，則
其中正確的命題是 （D）
A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ②③④
7．已知實數
,則
的最小值是( C
)
A.
B. 
D.3
8.已知△ABC的外接圓半徑為
,∠ABC=1200,BC=10,則過點A且以B、C為焦點的雙曲線的離心率是
( C)
A. B. 
C. 
D. 
二、填空題：本大題共7個小題，每小題5分，共35分.
9．已知函數
，則
的值為 4
10．已知兩條直線：
，若
，則m= 
11．若
展開式中的第5項是
，則x = 3
12．設動點P
滿足約束條件
，則
的最小值為 5
13．設O點是
內一點，且
，若
，則
6
14．如圖，A、B、C是表面積為48π的球面上三點，
AB=2，BC=4，∠ BAC=90°，O為球心，則A、C兩
點的球面距離為 
；直線OA與截面ABC
所成的角的余弦值是
15．定義運算符號：“
”，表示若干個數相乘，如：
。記
，其中
為數列
中的第i項。
（1）若
，則
105
（2）若
，則
三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫文字說明，證明過程或演算步驟。
16．如圖，點A、B、C都在圓
A和B的橫坐標分別是1和
，
，記
（1）求
的值；
（2）求
的值.
解：（1）由已知A、B的坐標分別是（1，0）
，……………………1分
設C的坐標是（
）,
得
又
解得
，
………4分
………………………… 6分
（2）
由三角函數的定義可知 
……8分
由（1）知
…………………………………10分
…………………………………12分
１７．某品牌服飾店以每件200元進了一批服裝，門市部標價每件300元，五一節期間商家對這批服裝進行促銷活動，方案是：按標價銷售，但顧客每買一件可按以下方法摸一次再兌獎：箱內裝有標著數字0、20、40、60、80的小球各兩個，顧客從箱子內任取三個小球，按三個小球中最大數字等額返還現金（單位：元），每個小球被取到的可能性都相等。
（1）求摸一次摸得的三個小球上的數字各不相同的概率；
（2）若有3位顧客各買了一件，求至少有兩人返獎不少于60元的概率.
解：（1）解法一：“一次取出的3個小球上的數字互不相同”的事件記為
，
則
解法二：“一次取出的3個小球上的數字互不相同的事件記為A”，“一次取出的3個小球上有兩個數字相同”的事件記為
，則事件和事件是對立事件因為
，所以
．…………4分
（2）設E=“返獎60元”，F=“返獎80元”
,
…………8分
每一位顧客返獎不少于60元的概率
…………9分
故3位顧客中至少有兩人返獎不少于60元的概率是：
.…………12分
18．
直四棱柱ABCD―A1B
（1）求證：EC1∥AD1；
（2）在線段AD上求一點F，使EF⊥平面ACD1;
（3）求平面EAC1與底面ABCD所成的銳二面角的大小.
解答
（1）以A為原點，AB、AD、AA1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系
則
，∴
，∴EC1∥AD1
(2)設點F的坐標為
，則
，
則由
故所求點為
，即AD的中點為所求。
（3）設平面EAC1的法向量為
，由
，取
，而平面ABCD
的法向量可取為
，故
∴
，故所求二面角的大小為
19.如圖，已知橢圓
以雙曲線
的焦點為頂點，頂點為焦點。過點
的直線與橢圓交于兩點
、
，過
作直線垂直于
軸，交橢圓于另一點
.
（1） 求橢圓的方程；
（2） 求證：
與軸交于定點
,并求點的坐標。
 |
解（1）易求出橢圓的方程是
…………4分
（2）據題意設
的方程：
，代入橢圓方程得：
①
…………8分
據題意有
，則直線的方程：
…………9分
令
得
=3+
=
=3-
可知與軸交于定點
，…………13分
20.已知數列
、
的前n項和分別為
、
，且滿足
，
．
(1)求
的值，并證明數列是等比數列；
(2) 試確定實數
的值，使數列
是等差數列。
解：（1）由已知得
，∴
，易得
………2分
由得
,
上面兩式作差得 
……4分
∴數列是以
為首項，
為公比的等比數列 …… 6分
（2）由（1）知
而 
…………8分
…………………………10分
數列
是等差數列的充要條件是
、是常數
即
當且僅當
，即
時，數列
為等差數列.……13分
21.已知函數
（
、
、
、
∈R）對任意
都有
，且
時，取極大值
函數
(1) 求的解析式；
（2）是否存在實數m，使得對任意的
，總存在
,都有
成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
解：（I）因為，
成立，所以
，
∵
，由
，得 
，
由
，得 
解之得：
從而，函數解析式為：
（2）
所以g(x)在[0，1]上單調遞增，因此當時，
，
即
因此有
故存在實數m，
使得
成立，其取值范圍是
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