連云港市2009屆高三數學模擬試題一
數學（必做題）
組卷：閆振仁
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應位置上．
1． 已知集合
,則
= ．
2．已知直線
，當
時，
．
3．若將ww w.ks 5u.c om一枚硬幣連續拋擲三次，則出現“至少一次正面向上”的概率為 ．
4．
是純虛數，則
．
5．若雙曲線經過點
，且漸近線方程是
，則這條雙曲線的方程是 ．
6．右圖是一個算法的程序框圖，該算法所輸出的結果是 ．
 |
7．已知正三棱錐
主視圖如圖所示，其中
中，
，則這個
正三棱錐的左視圖的面積為 
8．從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統計如下表，則這100人成績的標準差為 ．
分數
5
4
3
2
1
人數
20
10
30
30
10
9．若數列
滿足
（
為常數），則稱數列為等比和數列，k稱為公比和．已知數列是以3為公比和的等比和數列，其中
，則
．
10．動點
在不等式組
表示的平面區域內部及其邊界上運動，則
的取值范圍是 ．
11．已知
，則
=
．
12．已知
，設函數
的最大值為
，最小值為
，那么
．
13．已知P為拋物線
的焦點,過P的直線l與拋物線交與A,B兩點，若Q在直線l上,且滿足
，則點Q總在定直線
上．試猜測如果P為橢圓
的左焦點，過P的直線l與橢圓交與A,B兩點，若Q在直線l上,且滿足，則點Q總在定直線 上．
14． 曲邊梯形由曲線
所圍成，過曲線
上一點P作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個面積最大的普通梯形，這時點P的坐標是________．
15（本小題滿分14分）
二、解答題：本大題共6小題，共90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
在
中，
．
（Ⅰ）求
邊的長度；
（Ⅱ）若點
是
的中點，求中線
的長度．
16（本小題滿分14分）
如圖，正三棱柱
中，已知
，
為
的中點．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）試在棱
上確定一點
，使得
平面
．
 |
17（本小題滿分15分）
已知橢圓
的左、右焦點分別是
，Q是橢圓外的動點，滿足
點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足
．
（Ⅰ）設
為點P的橫坐標，證明
；
（Ⅱ）求點T的軌跡C的方程；
（Ⅲ）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F1MF2的面積S=
若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由．
18（本小題滿分16分）
為了保護一件珍貴文物，博物館需要在一種無色玻璃的密封保護罩內充入保護氣體.假設博物館需要支付的總費用由兩部分組成：罩內該種氣體的體積比保護罩的容積少
（Ⅰ）求博物館支付總費用y與保護罩容積V之間的函數關系式；
（Ⅱ）求博物館支付總費用的最小值；
（Ⅲ）如果要求保護罩可以選擇正四棱錐或者正四棱柱形狀，且保護罩底面（不計厚度）正方形邊長不得少于
，結果保留一位小數）．
19（本小題滿分16分）
已知函數
（I）求
的極值；
（II）若
的取值范圍；
（III）已知
20（本小題滿分16分）
已知分別以
為公差的等差數列
,
．
（Ⅰ）若
，
,且存在正整數
,使得
,求證:
（Ⅱ）若
，
且數列
的前項
和
滿足
,求 
的通項公式.
（Ⅲ）對于給定的正整數m，若
求
的最大值．
連云港市2009屆高三數學模擬試題一
數 學（附加題）
21．（選做題）從A，B，C，D四個中選做2個，每題10分，共20分．
A．選修4―1 幾何證明選講
如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，PBC為割線，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點，F為CE上一點，且DE2=EF?EC.
（Ⅰ）求證：ÐP=ÐEDF；
（Ⅱ）求證：CE?EB=EF?EP．
B．選修4―2 矩陣與變換
已知
，若
所對應的變換
把直線
變換為自身，求實數
，并求M的逆矩陣．
C．選修4―4 參數方程與極坐標
自極點O作射線與直線
相交于點M，在OM上取一點P，使得
，求點P的軌跡的極坐標方程．
D．選修4―4 不等式證明
設a、b、c均為實數，求證：
+
+
≥
+
+
．
22．必做題（本小題滿分10分）
如圖，已知三棱錐O－ABC的側棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點．
（Ⅰ）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A－BE－C的余弦值．
23．必做題（本小題滿分10分）
隨機抽取某廠的某種產品200件，經質檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設1件產品的利潤（單位：萬元）為
．
（Ⅰ）求
的分布列；
（Ⅱ）求1件產品的平均利潤（即的數學期望）；
（Ⅲ）經技術革新后，仍有四個等級的產品，但次品率降為
，一等品率提高為
．如果此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？
一、填空題
1． 
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
；
6．
；
7．
； 8．3； 9．
． 10．
11．
； 12．
； 13．
； 14．
．
二、解答題
15．解：（1）由
得：
，
由正弦定理知: 
，
（2）
，
由余弦定理知：
16．解：（Ⅰ）證明：取
的中點
，連接
因為
是正三角形，
所以
又
是正三棱柱，
所以
面
，所以
所以有
面
因為
面
所以
；
（Ⅱ）
為
的三等分點，
．
連結
，
，
∵ 
，∴ 
．
∴ 
， ∴ 
又∵
面
，
面
∴ 
平面
17．解 （Ⅰ）設點P的坐標為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得
又由
知
，
所以
（Ⅱ） 當
時，點（
，0）和點（－，0）在軌跡上．
當
且
時，由
，得
．
又
，所以T為線段F2Q的中點．
在△QF
，所以有
綜上所述，點T的軌跡C的方程是
（Ⅲ） C上存在點M（
）使S=
的充要條件是
由③得
，由④得
所以，當
時，存在點M，使S=；
當
時，不存在滿足條件的點M．
當時，
，
由
，
，
，得
18．解：（1）
（或
）（
）
（2）
當且僅當
，即V=
所以，博物館支付總費用的最小值為7500元．
（3）解法1：由題意得不等式：
當保護罩為正四棱錐形狀時，
，代入整理得：
，解得
；
當保護罩為正四棱柱形狀時，
，代入整理得：
，解得
又底面正方形面積最小不得少于
，所以，底面正方形的面積最小可取
解法2. 解方程
，即
得兩個根為
由于函數
在
上遞減，在
上遞增，所以當
時，總費用超過8000元，所以V取得最小值
由于保護罩的高固定為
．所以當保護罩為正四棱柱時，保護罩底面積最小，
m2
又底面正方形面積最小不得少于，
，所以，底面正方形的面積最小可取
19．解：（Ⅰ）
令
得
當
為增函數；
當
為減函數，
可知
有極大值為
（Ⅱ）欲使
在
上恒成立，只需
在上恒成立，
設
由（Ⅰ）知，
，
（Ⅲ）
，由上可知
在
上單調遞增，
①，
同理
②
兩式相加得
20．解：（1）證明：因為
所以
即
可化為:
當且僅當
即
時
故
（2）因為
=
=
又由
可知
=
即
=
解之得 
故得
所以
因此
的通項公式為..
（3）解：
所以
即S的最大值為
三、附加題
∵ÐDEF是公共角，
∴ΔDEF∽ΔCED． ∴ÐEDF=ÐC．
∵CD∥AP， ∴ÐC=Ð P．
∴ÐP=ÐEDF．
（2）∵ÐP=ÐEDF， ÐDEF=ÐPEA，
∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．
∵弦AD、BC相交于點E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．
21B．法一：特殊點法
在直線
上任取兩點（2、1）和（3、3），…………1分
則
?
即得點
…………3 分
即得點
將
和
分別代入上得
則矩陣
…………6 分
則
…………10 分
法二：通法
設
為直線上任意一點其在M的作用下變為
…………1分
則
…………3分
代入得：
其與完全一樣得
則矩陣
…………6分
則
…………10分
化為
， ………4分
，
………6分
設動點P
，M
，則 
， ………8分
又 
，得
；
………10分
法二：以極點為坐標原點建立直角坐標系，
將直線方程化為，………………4分
設P
，M
，
，………6分
又MPO三點共線，
，
…………8分
轉化為極坐標方程． ………10分
21D．證明： ∵a、b、c均為實數．
∴
（
＋
）≥
≥
，當a=b時等號成立；
（＋
）≥
≥
，當b=c時等號成立；
（＋）≥
≥
．
三個不等式相加即得++≥++，
當且僅當a=b=c時等號成立.
22．解：（I）以O為原點，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
則有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．
cos<
>
．
由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是
．
（II）
，
，
設平面ABE的法向量為
，
則由
，
，得
取n＝（1，2，2），
平面BEC的一個法向量為n2＝（0，0，1），
．
由于二面角A－BE－C的平面角是n1與n2的夾角的補角，其余弦值是－
．
23．解：
的所有可能取值有6，2，1，-2；
，
，
故的分布列為：
6
2
1
-2
0.63
0.25
0.1
0.02
（2）
（3）設技術革新后的三等品率為
，則此時1件產品的平均利潤為
依題意，
，即
，解得
所以三等品率最多為
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