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18 【查看更多】

（本小題滿分12分）

第8屆中學生模擬聯合國大會將在本校舉行，為了搞好接待工作，組委會招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）：

男女

15 7 7 8 9 9 9

9 8 16 0 0 1 2 4 5 8 9

8 6 5 0 17 2 5 6

7 4 2 1 18 0

1 0 19

若男生身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個子”，在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個子”，女生身高在170cm以上（包括170cm）定義為“高個子”，在170cm以下（不包括170cm）定義為“非高個子”．

（1）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取6人，則應分別抽取“高個子”、“非高個子”各幾人？

（2）從（1）中抽出的6人中選2人擔任領座員，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？

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（本小題滿分12分）

編號為的16名籃球運動員在某次訓練比賽中的得分記錄如下：

運動員編號
得分	15	35	21	28	25	36	18	34
運動員編號
得分	17	26	25	33	22	12	31	38

（Ⅰ）將得分在對應區間內的人數填入相應的空格；

區間
人數

（Ⅱ）從得分在區間內的運動員中隨機抽取2人，

（i）用運動員的編號列出所有可能的抽取結果；

（ii）求這2人得分之和大于50的概率．

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（本小題滿分12分）

為調查某市學生百米運動成績,從該市學生中按照男女生比例隨機抽取50名學生進行百米測試，學生成績全部都介于13秒到18秒之間，將測試結果按如下方式分成五組，第一組，第二組……第五組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，根據有關規定，成績小于16秒為達標．

（Ⅰ）用樣本估計總體，某班有學生45人,設為達標人數,求的數學期望與方差；

（Ⅱ）如果男女生使用相同的達標標準,則男女生達標情況如右表：

根據表中所給的數據，能否有99%的把握認為“體育達標與性別有關”？若有，你能否提出一個更好的解決方法來？

附：

性別是否達標	男	女	合計
達標		_____	_____
不達標	___		_____
合計	______	______

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（本小題滿分12分）

某班50名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，將測試結果按如下方式分成五組：每一組；第二組……第五組．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

（I）若成績大于或等于14秒且小于16秒認為良好，求該班在這次百米測試中成績良好的人數；

（II）設、表示該班某兩位同學的百米測試成績，且已知.

求事件“”的概率.

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（本小題滿分12分）

為調查某市學生百米運動成績,從該市學生中按照男女生比例隨機抽取50名學生進行百米測試，學生成績全部都介于13秒到18秒之間，將測試結果按如下方式分成五組，第一組，第二組……第五組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）求這組數據的眾數和中位數（精確到0．1）；

( II )根據有關規定，成績小于16秒為達標．

(ⅰ)用樣本估計總體，某班有學生45人,設

為達標人數,求的數學期望與方差．

(ⅱ)如果男女生使用相同的達標標準,則男女

生達標情況如下表

性別是否達標	男	女	合計
達標		______	_____
不達標	_____		_____
合計	______	______

根據上表數據，能否有99%的把握認為“體育達標與性別有關”？若有，你能否提出一個更好的解決方法來？

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一、填空題

1．； 2．； 3．； 4．； 5．；

6．； 7．； 8．3； 9．． 10．

11．； 12．； 13．； 14．．

二、解答題

15．解：（1）由得：

，

由正弦定理知: ，

（2），

由余弦定理知：

16．解：（Ⅰ）證明：取的中點，連接

因為是正三角形，

所以

又是正三棱柱，

所以面，所以

所以有面

因為面

所以；

（Ⅱ）為的三等分點，．

連結，，

∵ ，∴ ．

∴ ， ∴

又∵面，面

∴ 平面

17．解（Ⅰ）設點P的坐標為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得

又由知，

所以

（Ⅱ）當時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上．

當且時，由，得．

又，所以T為線段F₂Q的中點．

在△QF₁F₂中，，所以有

綜上所述，點T的軌跡C的方程是

（Ⅲ） C上存在點M（）使S=的充要條件是

由③得，由④得所以，當時，存在點M，使S=；

當時，不存在滿足條件的點M．

當時，，

由，

，

，得

18．解：（1）（或）（）

（2）

當且僅當，即V=4立方米時不等式取得等號

所以，博物館支付總費用的最小值為7500元．

（3）解法1：由題意得不等式：

當保護罩為正四棱錐形狀時，，代入整理得：，解得；

當保護罩為正四棱柱形狀時，，代入整理得：，解得

又底面正方形面積最小不得少于，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米

解法2. 解方程，即得兩個根為

由于函數在上遞減，在上遞增，所以當時，總費用超過8000元，所以V取得最小值

由于保護罩的高固定為2米，所以對于相等體積的正四棱錐與正四棱柱，正四棱柱的底面積是正四棱錐底面積的．所以當保護罩為正四棱柱時，保護罩底面積最小， m²

又底面正方形面積最小不得少于，，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米

19．解：（Ⅰ）令得

當為增函數；

當為減函數，

可知有極大值為

（Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，

設

由（Ⅰ）知，，

（Ⅲ），由上可知在上單調遞增，

①，

同理 ②

兩式相加得

20．解：（1）證明：因為

所以即

可化為:

當且僅當即時

故

（2）因為

=

又由可知 =

即 =

解之得

故得所以

因此的通項公式為..

（3）解：

所以

即S的最大值為

三、附加題

21A．（1）∵DE²=EF?EC，∴DE : CE=EF: ED．

∵ÐDEF是公共角，

∴ΔDEF∽ΔCED． ∴ÐEDF=ÐC．

∵CD∥AP， ∴ÐC=Ð P．

∴ÐP=ÐEDF．

（2）∵ÐP=ÐEDF， ÐDEF=ÐPEA，

∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．

∵弦AD、BC相交于點E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．

21B．法一：特殊點法

在直線上任取兩點（2、1）和（3、3），…………1分

則?即得點 …………3 分

即得點

將和分別代入上得

則矩陣 …………6 分

則 …………10 分

法二：通法

設為直線上任意一點其在M的作用下變為…………1分

則…………3分

代入得：

其與完全一樣得

則矩陣 …………6分

則 …………10分

21C．法一：將直線方程化為， ………4分

， ………6分

設動點P，M，則， ………8分

又，得； ………10分

法二：以極點為坐標原點建立直角坐標系，

將直線方程化為，………………4分

設P，M，，………6分

又MPO三點共線，， …………8分

轉化為極坐標方程． ………10分

21D．證明： ∵a、b、c均為實數．

∴（＋）≥≥，當a=b時等號成立；

（＋）≥≥，當b=c時等號成立；

（＋）≥≥．

三個不等式相加即得++≥++，

當且僅當a=b=c時等號成立.

22．解：（I）以O為原點，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．

則有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．

cos<>．

由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是．

（II），，

設平面ABE的法向量為，

則由，，得

取n＝（1，2，2），

平面BEC的一個法向量為n₂＝（0，0，1），

．

由于二面角A－BE－C的平面角是n₁與n₂的夾角的補角，其余弦值是－．

23．解：的所有可能取值有6，2，1，-2；，

，

故的分布列為：

6

2

1

-2

0.63

0.25

0.1

0.02

（2）

（3）設技術革新后的三等品率為，則此時1件產品的平均利潤為

依題意，，即，解得所以三等品率最多為

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