題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分10分）（注意：在試題卷上作答無效）
在△
中，角
、
、
所對的邊分別為
、
、
，且
.
（Ⅰ）若
，求角；
w ww.ks 5u.c om
（Ⅱ）設
，
，試求
的最大值.
（本小題滿分15分）在一次數學實踐活動課上，老師給一個活動小組安排了這樣的一個任務：設計一個方案，將一塊邊長為4米的正方形鐵片，通過裁剪、拼接的方式，將它焊接成容積至少有5立方米的長方體無蓋容器（只有一個下底面和側面的長方體）.該活動小組接到任務后，立刻設計了一個方案，如下圖所示，按圖1在正方形鐵片的四角裁去四個相同的小正方形后，將剩下的部分焊接成長方體(如圖2).請你分析一下他們的設計方案切去邊長為多大的小正方形后能得到的最大容積，最大容積是多少？是否符合要求？若不符合，請你幫他們再設計一個能符合要求的方案，簡單說明操作過程和理由. W ww.k s 5u.c om
（本小題滿分15分）在一次數學實踐活動課上，老師給一個活動小組安排了這樣的一個任務：設計一個方案，將一塊邊長為4米的正方形鐵片，通過裁剪、拼接的方式，將它焊接成容積至少有5立方米的長方體無蓋容器（只有一個下底面和側面的長方體）.該活動小組接到任務后，立刻設計了一個方案，如下圖所示，按圖1在正方形鐵片的四角裁去四個相同的小正方形后，將剩下的部分焊接成長方體(如圖2).請你分析一下他們的設計方案切去邊長為多大的小正方形后能得到的最大容積，最大容積是多少？是否符合要求？若不符合，請你幫他們再設計一個能符合要求的方案，簡單說明操作過程和理由. W ww.k s 5u.c om
（本小題滿分15分）已知公差大于零的等差數列
的前n項和為Sn，且滿足：
，
．
（1）求數列的通項公式
；
（2）若數列
是等差數列，且
，求非零常數c；W ww.k s 5u.c om
（3）若(2)中的的前n項和為
，求證：
一個三棱w ww.ks 5u.c om錐的三視圖是三個直角三角形，如圖所示，在包圍該三棱錐的外接球內任取一點，該點落在三棱錐內部的概率為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
 |
一、填空題
1． 
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
；
6．
；
7．
； 8．3； 9．
． 10．
11．
； 12．
； 13．
； 14．
．
二、解答題
15．解：（1）由
得：
，
由正弦定理知: 
，
（2）
，
由余弦定理知：
16．解：（Ⅰ）證明：取
的中點
，連接
因為
是正三角形，
所以
又
是正三棱柱，
所以
面
，所以
所以有
面
因為
面
所以
；
（Ⅱ）
為
的三等分點，
．
連結
，
，
∵ 
，∴ 
．
∴ 
， ∴ 
又∵
面
，
面
∴ 
平面
17．解 （Ⅰ）設點P的坐標為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得
又由
知
，
所以
（Ⅱ） 當
時，點（
，0）和點（－，0）在軌跡上．
當
且
時，由
，得
．
又
，所以T為線段F2Q的中點．
在△QF
，所以有
綜上所述，點T的軌跡C的方程是
（Ⅲ） C上存在點M（
）使S=
的充要條件是
由③得
，由④得
所以，當
時，存在點M，使S=；
當
時，不存在滿足條件的點M．
當時，
，
由
，
，
，得
18．解：（1）
（或
）（
）
（2）
當且僅當
，即V=
所以，博物館支付總費用的最小值為7500元．
（3）解法1：由題意得不等式：
當保護罩為正四棱錐形狀時，
，代入整理得：
，解得
；
當保護罩為正四棱柱形狀時，
，代入整理得：
，解得
又底面正方形面積最小不得少于
，所以，底面正方形的面積最小可取
解法2. 解方程
，即
得兩個根為
由于函數
在
上遞減，在
上遞增，所以當
時，總費用超過8000元，所以V取得最小值
由于保護罩的高固定為
．所以當保護罩為正四棱柱時，保護罩底面積最小，
m2
又底面正方形面積最小不得少于，
，所以，底面正方形的面積最小可取
19．解：（Ⅰ）
令
得
當
為增函數；
當
為減函數，
可知
有極大值為
（Ⅱ）欲使
在
上恒成立，只需
在上恒成立，
設
由（Ⅰ）知，
，
（Ⅲ）
，由上可知
在
上單調遞增，
①，
同理
②
兩式相加得
20．解：（1）證明：因為
所以
即
可化為:
當且僅當
即
時
故
（2）因為
=
=
又由
可知
=
即
=
解之得 
故得
所以
因此
的通項公式為..
（3）解：
所以
即S的最大值為
三、附加題
∵ÐDEF是公共角，
∴ΔDEF∽ΔCED． ∴ÐEDF=ÐC．
∵CD∥AP， ∴ÐC=Ð P．
∴ÐP=ÐEDF．
（2）∵ÐP=ÐEDF， ÐDEF=ÐPEA，
∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．
∵弦AD、BC相交于點E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．
21B．法一：特殊點法
在直線
上任取兩點（2、1）和（3、3），…………1分
則
?
即得點
…………3 分
即得點
將
和
分別代入上得
則矩陣
…………6 分
則
…………10 分
法二：通法
設
為直線上任意一點其在M的作用下變為
…………1分
則
…………3分
代入得：
其與完全一樣得
則矩陣
…………6分
則
…………10分
化為
， ………4分
，
………6分
設動點P
，M
，則 
， ………8分
又 
，得
；
………10分
法二：以極點為坐標原點建立直角坐標系，
將直線方程化為，………………4分
設P
，M
，
，………6分
又MPO三點共線，
，
…………8分
轉化為極坐標方程． ………10分
21D．證明： ∵a、b、c均為實數．
∴
（
＋
）≥
≥
，當a=b時等號成立；
（＋
）≥
≥
，當b=c時等號成立；
（＋）≥
≥
．
三個不等式相加即得++≥++，
當且僅當a=b=c時等號成立.
22．解：（I）以O為原點，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
則有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．
cos<
>
．
由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是
．
（II）
，
，
設平面ABE的法向量為
，
則由
，
，得
取n＝（1，2，2），
平面BEC的一個法向量為n2＝（0，0，1），
．
由于二面角A－BE－C的平面角是n1與n2的夾角的補角，其余弦值是－
．
23．解：
的所有可能取值有6，2，1，-2；
，
，
故的分布列為：
6
2
1
-2
0.63
0.25
0.1
0.02
（2）
（3）設技術革新后的三等品率為
，則此時1件產品的平均利潤為
依題意，
，即
，解得
所以三等品率最多為
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