題目列表(包括答案和解析)
如圖，正三棱柱
中，已知
，
為
的中點．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）試在棱
上確定一點
，使得
平面
．
如圖，正三棱柱
中，已知
，
為
的中點．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）試在棱
上確定一點
，使得
平面
．
如圖所示，四棱錐
中，
底面
為
的中點。
（I）試在
上確定一點
，使得
平面
（II）點在滿足（I）的條件下，求直線
與平面
所成角的正弦值。
已知長方體
中，底面
為正方形，
面，
，
，點
在棱
上，且
．
（Ⅰ）試在棱
上確定一點
，使得直線
平面
，并證明；
（Ⅱ）若動點
在底面內，且
，請說明點的軌跡，并探求
長度的最小值．
（12分）如圖，在三棱拄
中，
側面
，
已知
（Ⅰ）試在棱
(不包含端點
上確定一點
的位置,使得
；
(Ⅱ) 在（Ⅰ）的條件下,求二面角
的平面角的正切值.
一、填空題
1． 
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
；
6．
；
7．
； 8．3； 9．
． 10．
11．
； 12．
； 13．
； 14．
．
二、解答題
15．解：（1）由
得：
，
由正弦定理知: 
，
（2）
，
由余弦定理知：
16．解：（Ⅰ）證明：取
的中點
，連接
因為
是正三角形，
所以
又
是正三棱柱，
所以
面
，所以
所以有
面
因為
面
所以
；
（Ⅱ）
為
的三等分點，
．
連結
，
，
∵ 
，∴ 
．
∴ 
， ∴ 
又∵
面
，
面
∴ 
平面
17．解 （Ⅰ）設點P的坐標為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得
又由
知
，
所以
（Ⅱ） 當
時，點（
，0）和點（－，0）在軌跡上．
當
且
時，由
，得
．
又
，所以T為線段F2Q的中點．
在△QF
，所以有
綜上所述，點T的軌跡C的方程是
（Ⅲ） C上存在點M（
）使S=
的充要條件是
由③得
，由④得
所以，當
時，存在點M，使S=；
當
時，不存在滿足條件的點M．
當時，
，
由
，
，
，得
18．解：（1）
（或
）（
）
（2）
當且僅當
，即V=
所以，博物館支付總費用的最小值為7500元．
（3）解法1：由題意得不等式：
當保護罩為正四棱錐形狀時，
，代入整理得：
，解得
；
當保護罩為正四棱柱形狀時，
，代入整理得：
，解得
又底面正方形面積最小不得少于
，所以，底面正方形的面積最小可取
解法2. 解方程
，即
得兩個根為
由于函數
在
上遞減，在
上遞增，所以當
時，總費用超過8000元，所以V取得最小值
由于保護罩的高固定為
．所以當保護罩為正四棱柱時，保護罩底面積最小，
m2
又底面正方形面積最小不得少于，
，所以，底面正方形的面積最小可取
19．解：（Ⅰ）
令
得
當
為增函數；
當
為減函數，
可知
有極大值為
（Ⅱ）欲使
在
上恒成立，只需
在上恒成立，
設
由（Ⅰ）知，
，
（Ⅲ）
，由上可知
在
上單調遞增，
①，
同理
②
兩式相加得
20．解：（1）證明：因為
所以
即
可化為:
當且僅當
即
時
故
（2）因為
=
=
又由
可知
=
即
=
解之得 
故得
所以
因此
的通項公式為..
（3）解：
所以
即S的最大值為
三、附加題
∵ÐDEF是公共角，
∴ΔDEF∽ΔCED． ∴ÐEDF=ÐC．
∵CD∥AP， ∴ÐC=Ð P．
∴ÐP=ÐEDF．
（2）∵ÐP=ÐEDF， ÐDEF=ÐPEA，
∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．
∵弦AD、BC相交于點E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．
21B．法一：特殊點法
在直線
上任取兩點（2、1）和（3、3），…………1分
則
?
即得點
…………3 分
即得點
將
和
分別代入上得
則矩陣
…………6 分
則
…………10 分
法二：通法
設
為直線上任意一點其在M的作用下變?yōu)?sub>
…………1分
則
…………3分
代入得：
其與完全一樣得
則矩陣
…………6分
則
…………10分
化為
， ………4分
，
………6分
設動點P
，M
，則 
， ………8分
又 
，得
；
………10分
法二：以極點為坐標原點建立直角坐標系，
將直線方程化為，………………4分
設P
，M
，
，………6分
又MPO三點共線，
，
…………8分
轉化為極坐標方程． ………10分
21D．證明： ∵a、b、c均為實數．
∴
（
＋
）≥
≥
，當a=b時等號成立；
（＋
）≥
≥
，當b=c時等號成立；
（＋）≥
≥
．
三個不等式相加即得++≥++，
當且僅當a=b=c時等號成立.
22．解：（I）以O為原點，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
則有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．
cos<
>
．
由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是
．
（II）
，
，
設平面ABE的法向量為
，
則由
，
，得
取n＝（1，2，2），
平面BEC的一個法向量為n2＝（0，0，1），
．
由于二面角A－BE－C的平面角是n1與n2的夾角的補角，其余弦值是－
．
23．解：
的所有可能取值有6，2，1，-2；
，
，
故的分布列為：
6
2
1
-2
0.63
0.25
0.1
0.02
（2）
（3）設技術革新后的三等品率為
，則此時1件產品的平均利潤為
依題意，
，即
，解得
所以三等品率最多為
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