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已知橢圓的左、右焦點分別是，Q是橢圓外的動點，滿足．點是線段與該橢圓的交點，點T是的中點．

（Ⅰ）設為點的橫坐標，證明；
（Ⅱ）求點T的軌跡的方程．

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已知橢圓的左、右焦點分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足，點P是線段F₁Q與該橢圓的交點，點T在線段F₂Q上，并且滿足，。

（1）設x為點P的橫坐標，證明；
（2）求點T的軌跡C的方程；
（3）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M， 使△F₁MF₂的面積S=b²。若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請說明理由。

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已知橢圓的左、右焦點分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足，點P是線段F₁Q與該橢圓的交點，點T在線段F₂Q上，并且滿足，。

（1）設x為點P的橫坐標，證明；
（2）求點T的軌跡C的方程；
（3）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M， 使△F₁MF₂的面積S=b²。若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請說明理由。

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一、填空題

1． ；   2．；   3．；   4．；    5．；

6．；      7．；   8．3；    9．．   10．

11．；   12．；  13．；      14．．

二、解答題

15．解：（1）由得：

，

由正弦定理知:  ，

（2），

由余弦定理知：

16．解：（Ⅰ）證明：取的中點，連接

因為是正三角形，

所以

又是正三棱柱，

所以面，所以

所以有面

因為面

所以；

（Ⅱ）為的三等分點，．

連結，，

∵ ，∴ ．

∴ ， ∴

又∵面，面

∴ 平面

17．解 （Ⅰ）設點P的坐標為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得

又由知，

所以

   （Ⅱ） 當時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上．

當且時，由，得．

又，所以T為線段F₂Q的中點．

在△QF₁F₂中，，所以有

綜上所述，點T的軌跡C的方程是

（Ⅲ） C上存在點M（）使S=的充要條件是

由③得，由④得  所以，當時，存在點M，使S=；

當時，不存在滿足條件的點M．

當時，，

由，

，

，得

18．解：（1）（或）（）

（2）

當且僅當，即V=4立方米時不等式取得等號

所以，博物館支付總費用的最小值為7500元．

（3）解法1：由題意得不等式：

當保護罩為正四棱錐形狀時，，代入整理得：，解得；

當保護罩為正四棱柱形狀時，，代入整理得：，解得

又底面正方形面積最小不得少于，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米

解法2. 解方程，即得兩個根為

由于函數在上遞減，在上遞增，所以當時，總費用超過8000元，所以V取得最小值 

由于保護罩的高固定為2米，所以對于相等體積的正四棱錐與正四棱柱，正四棱柱的底面積是正四棱錐底面積的．所以當保護罩為正四棱柱時，保護罩底面積最小， m² 

又底面正方形面積最小不得少于，，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米

19．解：（Ⅰ）令得

當為增函數；

當為減函數，

可知有極大值為

（Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，

設

由（Ⅰ）知，，

（Ⅲ），由上可知在上單調遞增，

  ①，

 同理  ②

兩式相加得

20．解：（1）證明：因為

所以即

可化為:

當且僅當即時

故 

（2）因為

 =

 =

又由可知 =

即 =

解之得  

故得所以

因此的通項公式為..

   （3）解：

所以

即S的最大值為

三、附加題

21A．（1）∵DE²=EF?EC，∴DE : CE=EF: ED．

          ∵ÐDEF是公共角，

          ∴ΔDEF∽ΔCED．  ∴ÐEDF=ÐC．

          ∵CD∥AP，    ∴ÐC=Ð P．

          ∴ÐP=ÐEDF．

（2）∵ÐP=ÐEDF，    ÐDEF=ÐPEA，

     ∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．

     ∵弦AD、BC相交于點E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．

21B．法一：特殊點法

在直線上任取兩點（2、1）和（3、3），…………1分

則?即得點  …………3 分

即得點

將和分別代入上得

則矩陣 …………6 分

則     …………10 分

法二：通法

設為直線上任意一點其在M的作用下變為…………1分

則…………3分

代入得：

其與完全一樣得

則矩陣         …………6分

則           …………10分

21C．法一：將直線方程化為，    ………4分

，                       ………6分

設動點P，M，則 ，    ………8分

又 ，得；                        ………10分

法二：以極點為坐標原點建立直角坐標系，

將直線方程化為，………………4分

設P，M，，………6分

又MPO三點共線，， …………8分

轉化為極坐標方程．   ………10分

21D．證明：  ∵a、b、c均為實數．

∴（＋）≥≥，當a=b時等號成立；

（＋）≥≥，當b=c時等號成立；

（＋）≥≥．

三個不等式相加即得++≥++，

當且僅當a=b=c時等號成立.

22．解：（I）以O為原點，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．

則有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．

 cos<>．

由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是．

（II），，

設平面ABE的法向量為，

則由，，得

取n＝（1，2，2），

平面BEC的一個法向量為n₂＝（0，0，1），

．

由于二面角A－BE－C的平面角是n₁與n₂的夾角的補角，其余弦值是－．

23．解：的所有可能取值有6，2，1，-2；，

，

故的分布列為：

6

2

1

-2

0.63

0.25

0.1

0.02

（2）

（3）設技術革新后的三等品率為，則此時1件產品的平均利潤為

依題意，，即，解得 所以三等品率最多為