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【題目】由中央電視臺綜合頻道（）和唯眾傳媒聯合制作的《開講啦》是中國首檔青年電視公開課.每期節目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對于生活和生命的感悟，給予中國青年現實的討論和心靈的滋養，討論青年們的人生問題，同時也在討論青春中國的社會問題，受到青年觀眾的喜愛，為了了解觀眾對節目的喜愛程度，電視臺隨機調查了、兩個地區的100名觀眾，得到如下的列聯表，已知在被調查的100名觀眾中隨機抽取1名，該觀眾是地區當中“非常滿意”的觀眾的概率為0.35.

（1）現從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進行問卷調查，則應抽取“非常滿意”的、地區的人數各是多少.

（2）完成上述表格，并根據表格判斷是否有的把握認為觀眾的滿意程度與所在地區有關系.

（3）若以抽樣調查的頻率為概率，從地區隨機抽取3人，設抽到的觀眾“非常滿意”的人數為，求的分布列和期望.

附：參考公式：.

【題目】四棱錐與直四棱柱組合而成的幾何體中，四邊形是菱形，，，，，交于，平面，為的中點.

（1）證明：平面；

（2）動點在線段上（包括端點），若二面角的余弦值為，求的長度.

【題目】已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與拋物線相交于兩點.設直線是拋物線的切線，且直線為上一點，且的最小值為.

（1）求拋物線的方程；

（2）設是拋物線上，分別位于軸兩側的兩個動點，為坐標原點，且.求證：直線必過定點，并求出該定點的坐標.

【題目】若存在，使得對任意恒成立，則函數在上有下界，其中為函數的一個下界；若存在，使得對任意恒成立，則函數在上有上界，其中為函數的一個上界.如果一個函數既有上界又有下界，那么稱該函數有界.下列四個結論：

①1不是函數的一個下界；②函數有下界，無上界；

③函數有上界，無下界；④函數有界.

其中所有正確結論的編號為_______.

【題目】已知函數，，且與的圖象有一個斜率為1的公切線（為自然對數的底數）.

（1）求；

（2）設函數，討論函數的零點個數.

【題目】2019年12月以來，湖北武漢市發現多起病毒性肺炎病例，并迅速在全國范圍內開始傳播，專家組認為，本次病毒性肺炎病例的病原體初步判定為新型冠狀病毒，該病毒存在人與人之間的傳染，可以通過與患者的密切接觸進行傳染.我們把與患者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者，每位密切接觸者被感染后即被稱為患者.已知每位密切接觸者在接觸一個患者后被感染的概率為，某位患者在隔離之前，每天有位密切接觸者，其中被感染的人數為，假設每位密切接觸者不再接觸其他患者.

（1）求一天內被感染人數為的概率與、的關系式和的數學期望；

（2）該病毒在進入人體后有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內患者無任何癥狀，為病毒傳播的最佳時間，設每位患者在被感染后的第二天又有位密切接觸者，從某一名患者被感染，按第1天算起，第天新增患者的數學期望記為.

（i）求數列的通項公式，并證明數列為等比數列；

（ii）若戴口罩能降低每位密切接觸者患病概率，降低后的患病概率，當取最大值時，計算此時所對應的值和此時對應的值，根據計算結果說明戴口罩的必要性.（取）

（結果保留整數，參考數據：）

【題目】已知三棱柱內接于一個半徑為的球，四邊形與均為正方形，分別是，的中點，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A.B.C.D.

【題目】斐波那契數列（）又稱黃金分割數列，因數學家列昂納多斐波那契（）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”.在數學上，斐波納契數列被以下遞推的方法定義：數列滿足：，，現從數列的前2024項中隨機抽取1項，能被3整除的概率是（ ）

A.B.C.D.

【題目】已知函數，，且與的圖象有一個斜率為1的公切線（為自然對數的底數）.

（1）求；

（2）設函數，討論函數的零點個數.

【題目】設橢圓的離心率為，且經過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線與橢圓交兩點，是坐標原點，分別過點作，的平行線，兩平行線的交點剛好在橢圓上，判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是，請說明理由.