Question

【題目】四棱錐與直四棱柱組合而成的幾何體中，四邊形是菱形，，，，，交于，平面，為的中點.

（1）證明：平面；

（2）動點在線段上（包括端點），若二面角的余弦值為，求的長度.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）在矩形中，根據，得，可證，又根據為正三角形及面面垂直性質定理可證平面，即得，由此可證明平面；

（2）以為原點，建立空間直角坐標系，設出點Q坐標，由二面角的余弦值為，可解出Q，即可求的長度.

（1）矩形中，，

，

.

四邊形是菱形，且，

，

為正三角形.

為的中點，

.

平面，

，

，

平面.

（2）以為原點，方向分別為軸，軸，軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

設Q，，

則，

平面的一個法向量為，

則，

取，則.

同理求得平面的一個法向量為.

代入

化簡即為，

由，可得，

故與重合，.