Question

【題目】已知函數的最大值為（其中為自然對數的底數），是的導函數。

（1）求的值；

（2）任取兩個不等的正數，且，若存在正數，使得成立。求證：。

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析.

【解析】

(1)對函數求導，分情況得到函數的單調性，進而求得在處取得最值，進而求解；（2）根據導數的幾何意義得到，構造函數，通過換元將等式右邊的函數改為，對此函數求導得到函數的單調性進而得證.

（1）由題意得，顯然，∵，∴，

令，解得，

①.當時，令，解得；令，解得，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴在處取得極大值，也是最大值，

∴，解得；

②當時，易知與題意不符，故舍去，

綜上所述，；

（2）由（1）知，則，∴，

∴，即，

則

，

設，則，

令，則，

∴函數在上單調遞減，

∴，即，又，

∴，即，∴，

同理可證，得證。