Question

【題目】已知

（1）求的軌跡

（2）過軌跡上任意一點作圓的切線，設直線的斜率分別是，試問在三個斜率都存在且不為0的條件下， 是否是定值，請說明理由，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)利用幾何性質取得該軌跡方程為橢圓，求得 即可得出該軌跡方程；也可以利用平面向量的結論結合坐標求解軌跡方程；

(2)利用題意聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理證得是定值即可.

試題解析：

（1）方法一：

如圖因為所以四邊形是平行四邊形

所以，

由得

所以的軌跡是以為焦點的橢圓易知

所以方程為

方法二：

設由得

再得

移項

平方化簡得：

（從發現是橢圓方程也可以直接得 ，分檔批閱老師自己把握）

（2）設，過的斜率為的直線為，由直線與圓相切可得

即：

由已知可知是方程（關于）的兩個根，

所以由韋達定理：

兩式相除：

又因為所以

代入上式可得： 即： 為一個定值.