Question

【題目】已知函數，，其中是自然對數的底數．

（Ⅰ），使得不等式成立，試求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

試題第一問根據題意將問題轉化為在區間上的最大值小于等于在區間上的最大值，之后根據函數的單調性求得相應的最值，第二問轉化不等式，將問題轉化為一個函數的最小值大于另一個函數的最大值，從而求得結果．

試題解析：（Ⅰ） 由題意，，使得不等式成立，

等價于．1分

，

當時，，故在區間上單調遞增，

所以時，取得最大值1．即

又當時，，

所以在上單調遞減，所以，

故在區間上單調遞減，因此，時，．

所以，則．

實數的取值范圍是．

（Ⅱ）當時，要證，只要證，

即證，由于，

只要證．

下面證明時，不等式成立．

令，則，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增．

所以當且僅當時，取最小值為1．

法一：，則，即，即，

由三角函數的有界性，，即，所以，而，

但當時，；時，

所以，，即

綜上所述，當時，成立．

法二：令，其可看作點與點連線的斜率，

所以直線的方程為：，

由于點在圓上，所以直線與圓相交或相切，

當直線與圓相切且切點在第二象限時，

直線取得斜率的最大值為．而當時，；

時，．所以，，即

綜上所述，當時，成立．

法三：令，則，

當時，取得最大值1，而，

但當時，；時，

所以，，即

綜上所述，當時，成立．