Question

【題目】已知在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分別是PC,PD,BC,AD 的中點．

（Ⅰ）求證：PO平面；

（Ⅱ）求平面EFG與平面所成銳二面角的大小；

（Ⅲ）線段上是否存在點，使得直線與平面所成角為，若存在，求線段的長度；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析 （Ⅱ）（Ⅲ）不存在，見解析

【解析】

（Ⅰ）正三角形中，由平面得到，所以得到面；（Ⅱ）以點為原點建立空間直角坐標系，根據平面的法向量，和平面的法向量，從而得到平面與平面所成銳二面角的余弦值，再得到所求的角；（Ⅲ）線段上存在滿足題意的點，直線與平面法向量的夾角為，設，，利用向量的夾角公式，得到關于的方程，證明方程無解，從而得到不存在滿足要求的點.

（Ⅰ）證明:因為△是正三角形，

是的中點，

所以 .

又因為平面，平面，

所以.

，平面，

所以面.

（Ⅱ）如圖，以點為原點分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.

則，

，，

設平面的法向量為

所以，即

令，則 ，

又平面的法向量，

設平面與平面所成銳二面角為，

所以.

所以平面與平面所成銳二面角為.

（Ⅲ）假設線段上存在點，

使得直線與平面所成角為，

即直線與平面法向量所成的角為，

設，，

，

所以

所以，

整理得，

，方程無解，

所以，不存在這樣的點.