Question

【題目】已知函數，曲線在原點處的切線斜率為-2.

（Ⅰ）求實數，的值；

（Ⅱ）若，求證：當時，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）詳見解析

【解析】

解法一：（1）計算導數，結合原點坐標，建立方程，即可。（2）構造函數，針對a取不同范圍，進行討論，判定與0的關系，即可。解法二：（1）解法一相同（2）構造函數，結合該函數導數，判斷單調性，計算范圍，即可。

解法一：

（Ⅰ）依題意得，

又的圖象在原點處的切線斜率為-2，

∴，

，

即，.

（Ⅱ）當時，設，

且.

①當時，，，

∴在定義域上單調遞減，

∴當時，，

∴恒成立，即.

②當，時，

，

∵，

∴.

又∵，

∴恒成立，即.

∴，時，.

綜上所述，若，當時，.

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）令

當時，.

∴.

∴.

令，

，

∴在單調遞減.

.

得，

∴當時，.