Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，直線與坐標軸的交點是橢圓的兩個頂點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓上的兩點，且滿足，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）因為與軸交點為，與軸交點為，

又直線與坐標軸交點為橢圓的頂點，即可求得a,b,進而得到橢圓的方程；

（2）由題意知M、N是橢圓上的兩點，且OM⊥ON，故設M（r1cosθ，r1sinθ），N（-r2sinθ，r2cosθ），由題設條件能夠推出|MN|的最小值為．

（1）因為與軸交點為，與軸交點為，

又直線與坐標軸交點為橢圓的頂點，

所以橢圓的頂點為，，

故所求橢圓方程為

（2）由題意知是橢圓上的兩點，且，故設，

，其中，，

于是，，

從而.

又（當且僅當時取等號）

所以，即，.

故所求的最小值為.