Question

【題目】設點為平面直角坐標系中的一個動點（其中為坐標系原點），點到定點的距離比到直線的距離大1，動點的軌跡方程為.

（1）求曲線的方程；

（2）若過點的直線與曲線相交于、兩點.

①若，求直線的直線方程；

②分別過點，作曲線的切線且交于點，是否存在以為圓心，以為半徑的圓與經過點且垂直于直線的直線相交于、兩點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或；②

【解析】

（1）根據已知條件得出動點滿足的等量關系，然后坐標表示等量關系，化簡即可得到曲線的方程；

（2）①設出直線的方程，聯立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理和求解即可；②由過的切線方程聯立得點坐標，再根據點到點的距離及的距離表示出，然后利用導數求出其范圍.

解：（1）設點到直線的距離為.

由題意知，∵，

∴，化簡得為所求方程.

（2）①由題意知，直線的斜率必存在，因為直線過點，

所以設直線的方程為

聯立，消得，設，

∴，，

又∵，∴，

∴，或，，

∴或，

∴直線的方程為或.

②

過點的切線方程為，①

過點的切線方程為，②

聯立①②得，

∴，即，

∴，

又∵點到直線的距離為，

∴，∴.

又∵，

∴.

令，，

∴，

∴在上單調遞增，∴，

∴，

∴的取值范圍為.