Question

【題目】已知函數（其中為自然對數的底數）.

（1）證明：當時，；

（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）構造函數，對其進行求導，再對導函數進行求導，進而判斷出函數在上單調遞增，結合，從而證得，即原不等式成立；

（2）先由特殊值求得，再用反證法證明該范圍能使時不等式恒成立.由（1）的結論，當時將恒成立的不等式轉化為.由得，則可構造函數，證明.利用導函數，以及重要不等關系“”分別證明時和時，，則不等式得證，從而求得.

解：（1）令

，

所以，

令，

，

則成立，在單調遞增，

，即成立，

所以在單調遞增，得，

即當時，，得證；

（2）因為當時，恒成立，

令得，所以，

下證當時原不等式成立

由（1）知當時，

只需證明，

因為當時，，

故只需證明，

令，

所以，

①當時，

成立，在單調遞增，

成立，

②當時，

由不等式知，

所以成立，

綜上原不等式得證，故實數的取值范圍為：.