Question

【題目】如圖，在多面體中，正方形所在平面垂直于平面，是等腰直角三角形，，，.

（1）求證：平面；

（2）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取中點，連結，可證出四邊形為平行四邊形，利用等腰三角形和面面垂直的性質得出和，最后根據線面垂直的判定定理，即可證出平面；

（2）由題可知，兩兩垂直，故以為坐標原點建立空間直角坐標系，求出和平面的法向量，利用空間向量法求線面的夾角，即可得出直線與平面所成角的正弦值.

解：（1）可取中點，連結，

，，

，

所以四邊形為平行四邊形，

則，

由于是等腰直角三角形，

則，

而正方形所在平面垂直于平面，且，

平面，平面，

，即，而，

平面，而，

平面.

（2）易知兩兩垂直，故以為坐標原點，

分別以的方向為軸正方向建立空間直角坐標系，

則各點坐標如下：，

，

則，，

設平面的法向量為，

則，即，

令，則，

平面的法向量為，

設直線與平面所成角為，

則，

所以直線與平面所成角的正弦值為.