Question

【題目】已知拋物線的焦點為F，過點F，斜率為1的直線與拋物線C交于點A，B，且．

（1）求拋物線C的方程；

（2）過點Q（1，1）作直線交拋物線C于不同于R（1，2）的兩點D、E，若直線DR，ER分別交直線于M，N兩點，求|MN|取最小值時直線DE的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）過點F且斜率為的直線方程與拋物線的方程聯立，利用求得的值，即可求得拋物線的方程；

（2）設D（x1，y1），E（x2，y2），直線DE的方程為，直線的方程為，由題意求出得值，建立的解析式，再求出的最小值以及直線的方程．

（1）拋物線的焦點為，

直線方程為：，

代入中，消去y得： ，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則有，

由，得，即，解得，

所以拋物線C的方程為：；

（2）設D（x1，y1），E（x2，y2），直線DE的方程為，如圖所示，

由，消去，整理得：，

∴，

設直線DR的方程為，

由，解得點M的橫坐標，

又k1==，∴xM==-，

同理點N的橫坐標，

=4，

∴|MN|=|xM-xN|=|-+|=2||==，

令，則，

∴|MN|===≥=，

所以當，即時，|MN|取最小值為，

此時直線DE的方程為．