Question

【題目】已知數列滿足：對任意，都有.

（1）若，求的值；

（2）若是等比數列，求的通項公式；

（3）設，，求證：若成等差數列，則也成等差數列.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）依據下標的關系，有，，兩式相加，即可求出；（2）依據等比數列的通項公式知，求出首項和公比即可。利用關系式，列出方程，可以解出首項和公比；（3）利用等差數列的定義，即可證出。

（1）因為對任意，都有，所以，，兩式相加，，解得；

（2）設等比數列的首項為，公比為，因為對任意，都有，

所以有，解得，又 ，

即有，化簡得，，即，

或，因為，化簡得，所以

故。

（3）因為對任意，都有，所以有

，成等差數列，設公差為，

，， ，

，由等差數列的定義知，

也成等差數列。