Question

【題目】已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在直線上，且是周長為12的等邊三角形.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，若，求直線斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)正三角形的周長可以確定三角形的邊長，根據(jù)拋物線的定義可以確定，解三角形可以確定，得到結(jié)果；

（2）設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積坐標(biāo)公式，建立相應(yīng)的不等關(guān)系式，求解得結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>是周長為12的等邊三角形，

所以，

由拋物線的定義可得，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，

則，從而，

在中，，即，

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

又由題意可知，直線的斜率存在且不為0，

因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)即為，

設(shè)直線的方程為，

將代入，消去可得，

則，解得或.

設(shè)，，

則，，且，，

所以

，

解得，所以直線的斜率的取值范圍為.