Question

【題目】已知函數 ．

（1）若，求曲線在處切線的斜率；

（2）求的單調區間；

（3）設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)由已知，……………………………………………………（2分）

.

故曲線在處切線的斜率為.…………………………………（4分）

(Ⅱ).……………………………………………………（5分）

①當時，由于，故，

所以，的單調遞增區間為.………………………………………（6分）

②當時，由，得.

在區間上，，在區間上，

所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.………（8分）

（Ⅲ）由已知，轉化為.…………………………………………………（9分）

……………………………………………………………………………（10分）

由(Ⅱ)知，當時，在上單調遞增，值域為，故不符合題意.

(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)……………………（11分）

當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

故的極大值即為最大值，，…………（13分）

所以，

解得. ………………………………………………………………………（14分）

【解析】

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。

（1）利用導數的幾何意義求解切線方程關鍵是切點坐標和該點的導數值。

（2）求解定義域和導數，利用導數的正負與函數單調性的關系得到結論。

（3）由已知，轉化為.

由(Ⅱ)知，當a0時，f(x)在x>0上單調遞增，值域為R，故不符合題意.

當a<0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，

故f(x)的極大值即為最大值，進而得到。

解(Ⅰ)由已知，

.

曲線在處切線的斜率為.

(Ⅱ).

①當時，由于，故，

所以，的單調遞增區間為.

②當時，由，得.

在區間上，，在區間上，

所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（Ⅲ）由已知，轉化為.

由(Ⅱ)知，當時，在上單調遞增，值域為，故不符合題意.

(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)

當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

故的極大值即為最大值，，

所以，

解得.