Question

【題目】公元2020年春，我國湖北武漢出現了新型冠狀病毒，人感染后會出現發熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等，嚴重的可導致肺炎甚至危及生命.為了盡快遏制住病毒的傳播，我國科研人員，在研究新型冠狀病毒某種疫苗的過程中，利用小白鼠進行科學試驗.為了研究小白鼠連續接種疫苗后出現癥狀的情況，決定對小白鼠進行做接種試驗.該試驗的設計為：①對參加試驗的每只小白鼠每天接種一次；②連續接種三天為一個接種周期；③試驗共進行3個周期.已知每只小白鼠接種后當天出現癥狀的概率均為，假設每次接種后當天是否出現癥狀與上次接種無關.

（1）若某只小白鼠出現癥狀即對其終止試驗，求一只小白鼠至多能參加一個接種周期試驗的概率；

（2）若某只小白鼠在一個接種周期內出現2次或3次癥狀，則在這個接種周期結束后，對其終止試驗.設一只小白鼠參加的接種周期為，求的分布列及數學期望.

Answer 1

【答案】（1）；（2）分布列見解析，.

【解析】

（1）利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出實驗至多持續一個接種周期的概率；

（2）設事件為“在一個接種周期內出現2次或3次癥狀”，分別求出，，，由此能求出的分布列和數學期望.

（1）已知每只小白鼠接種后當天出現癥狀的概率均為，且每次試驗間相互獨立，所以，一只小白鼠第一天接種后當天出現癥狀的概率為

在第二天接種后當天出現癥狀的概率為：

能參加第三天試驗但不能參加下一個接種同期的概率為：，

∴一只小白鼠至多參加一個接種周期試驗的概率為：

；

（2）設事件為“在一個接種周期內出現2次或3次癥狀”，則

；

隨機變量可能的取值為1，2，3，則

；

所以的分布列為

	1	2	3

隨機變量的數學期望為：