Question

函數f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）內有極小值的充分不必要條件是（　　）

• A、b∈（0，1）
• B、b∈（1，+∞）
• C、b∈（

  1

  2

  ，1）
• D、b∈（-∞，1）

Answer 1

考點：函數在某點取得極值的條件

專題：導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：首先求出函數的導數，然后令導數為零，求出函數的極值點，進而求出函數f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）內有極小值的充要條件，分析四個答案，與充要條件的包含關系，可得結論．

解答： 解：∵函數f（x）=x³-3bx+3b，
∴f′（x）=3x²-3b，
令f′（x）=0，則x=±

b

，
若函數f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）內有極小值，
則

b

∈（0，1），即b∈（0，1），
故函數f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）內有極小值的充要條件為b∈（0，1），
分析四個答案，
∵（

1

2

，1）?（0，1），
故函數f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）內有極小值的充分不必要條件可以是b∈（

1

2

，1），
故選：C

點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，充要條件，其中熟練掌握函數在某點取得極值的條件是解答的關鍵．